Question

1.41.' Розкладіть на множники: 1) x4 + 8x³ + 16x² - 25; 2) a² + 6a - b2 + 4b + 5; 3) (a + 3b) (a + 3b - 6) - (b + 3) (b − 3); 4) 3x² - 4xy + y2 + 4x - 4.

Answer 1

Ответ:

1) x^4 + 8x³ + 16x² - 25:

Розкладемо це як суму квадратів:

(x² + 4x + 5)(x² + 4x + 5).

2) a² + 6a - b² + 4b + 5:

Розкладемо це на дві частини:

(a² + 6a + 9) - (b² - 4b + 4).

Тепер ми можемо розкласти кожну частину:

(a + 3)² - (b - 2)².

3) (a + 3b)(a + 3b - 6) - (b + 3)(b - 3):

Використовуючи різницю квадратів для обох дужок:

[(a + 3b) - (b + 3)][(a + 3b) + (b - 3)].

Зараз розкладемо обидві дужки:

(a + 3b - b - 3)(a + 3b + b - 3).

Тепер спростимо це:

(a + 2b - 3)(a + 4b - 3).

4) 3x² - 4xy + y² + 4x - 4:

Розкладемо це як суму квадратів:

(3x² - 4xy + y²) + (4x - 4).

Тепер розкладемо перший доданок:

(3x - y)² + (4x - 4).

Далі можна взяти спільний множник у другому доданку:

(3x - y)² + 4(x - 1).

Answer 2

Добре, розглянемо кожен вираз окремо та розкладемо їх на множники:

1. $x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 25$

Цей вираз є сумою кубічного бінома та квадратного бінома, а також квадрату числа.

Спочатку звернемо увагу на останній термін, $-25$, який є квадратом числа 5.

Тепер подивимося на перші три терміни: $x^4 + 8x^3 + 16x^2$. Це можна розглядати як квадрат кубічного бінома $(x^2 + 4x)^2$.

Зараз можна переписати вираз:

$x^4 + 8x^3 + 16x^2 - 25 = (x^2 + 4x)^2 - 25$

Тепер розкладемо квадрат кубічного бінома:

$x^2 + 4x = x(x + 4)$

Отже, після розкладання на множники ми отримуємо:

$(x(x + 4))^2 - 25 = (x(x + 4) + 5)(x(x + 4) - 5)$

2. $a^2 + 6a - b^2 + 4b + 5$

Цей вираз не має специфічних властивостей, як попередній. Отже, ми не можемо його додатково спрощувати. Проте, його можна переписати у вигляді суми квадратів і лінійних термінів:

$a^2 + 6a - b^2 + 4b + 5 = (a^2 - b^2) + (6a + 4b) + 5$

Тепер розкладемо різницю квадратів:

$a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$

Отже, після розкладання на множники ми отримуємо:

$(a + b)(a - b) + 2(3a + 2b) + 5$

3. $(a + 3b)(a + 3b - 6) - (b + 3)(b - 3)$

Спочатку розкладемо кожний доданок окремо:

$(a + 3b)(a + 3b - 6) = (a + 3b)^2 - 6(a + 3b)\\ (b + 3)(b - 3) = b^2 - 9$

Тепер підставимо назад в початковий вираз:

$(a + 3b)^2 - 6(a + 3b) - (b^2 - 9)$

Розглянемо перший термін:

$(a + 3b)^2 = a^2 + 6ab + 9b^2$

Тепер можемо переписати вираз:

$a^2 + 6ab + 9b^2 - 6a - 18b - b^2 + 9$

Зібравши подібні терміни, маємо:

$a^2 + 5ab - 6a + 8b^2 - 18b + 9$

4. $3x^2 - 4xy + y^2 + 4x - 4$

Спочатку розглянемо квадратний тричлен:

$3x^2 - 4xy + y^2 = (3x - y)^2$

Тепер додамо лінійний та константний терміни:

$(3x - y)^2 + 4x - 4$

Цей вираз не має специфічних властивостей, тому ми не можемо його додатково спрощувати.