Question

Довести нерівність: ab+4≥4Vab, якщо a≥0, b≥0.

Answer 1

нужно перенести все в левую часть

(√ab)² - 4√ab + 4 ≥ 0

(√ab - 2)² ≥ 0 - верно при неотрицательных a и b

Answer 2

Довести нерівність:

ab+4≥4√(аb), якщо a≥0, b≥0.

За нерівністю Коші

а+b=2√(ab).

ab+4=2√(4ab)=4√(ab).

Доведено.

Answer 3

Для доведення нерівності ab + 4 ≥ 4√(ab), коли a ≥ 0 і b ≥ 0, спробуємо використати методи математичних перетворень. Почнемо зі створення квадратного кореня на правій стороні нерівності:

ab + 4 ≥ 4√(ab)

Тепер давайте віднімемо ab з обох сторін:

ab - ab + 4 ≥ 4√(ab) - ab

Це спрощується до:

4 ≥ 4√(ab) - ab

Тепер поділимо обидві сторони на 4:

(4/4) ≥ (4√(ab) - ab)/4

Це дорівнює 1 ≥ √(ab) - (ab/4)

Тепер додамо ab/4 до обох сторін:

1 + (ab/4) ≥ √(ab) - (ab/4) + (ab/4)

1 + (ab/4) ≥ √(ab)

Тепер можемо підвести квадратний корінь до квадрата обох сторін:

(1 + (ab/4))^2 ≥ (√(ab))^2

1 + 2(ab/4) + (ab/4)^2 ≥ ab

Помітимо, що (ab/4)^2 ≥ 0 для всіх a ≥ 0 і b ≥ 0, оскільки квадрат будь-якого числа є завжди невід'ємним числом. Тому ми можемо проігнорувати цей додатковий член:

1 + 2(ab/4) ≥ ab

Тепер спростимо (ab/4) до (1/4)ab:

1 + (1/2)ab ≥ ab

Тепер віднімемо ab з обох сторін:

1 - ab + (1/2)ab ≥ 0

(1 - (1/2)ab) ≥ 0

Тепер ми бачимо, що ця нерівність виконується, оскільки (1/2)ab завжди менше або рівне 1, і 1 - (1/2)ab завжди більше або рівне 0 для всіх a ≥ 0 і b ≥ 0. Таким чином, ми довели початкову нерівність:

ab + 4 ≥ 4√(ab) для a ≥ 0 і b ≥ 0.