Question

При каком значении параметра а векторы р(1;-2;0), q(-3;1;0), r (а;5;-2) будут линейно зависимыми?

Answer 1

Система:
b - 3c + a d = 0
-2b + c + 5d = 0
b - 2d = 0

b = 2d, c = 2b - 5d = -d
2d + 3d + a d = 0
Если d = 0, то все коэффициенты равны 0 - не подходит
Делим на d
a = -5

Answer 2

Векторы p, q и r будут линейно зависимыми, если существуют такие числа c1, c2 и c3, не все из которых равны нулю, такие что:

c1 * p + c2 * q + c3 * r = 0

где 0 - это нулевой вектор. В этом случае векторы будут линейно зависимыми.

Составим уравнение на основе данной информации:

c1 * (1; -2; 0) + c2 * (-3; 1; 0) + c3 * (a; 5; -2) = (0; 0; 0)

Теперь раскроем уравнение:

(c1 - 3c2 + ac3; -2c1 + c2 + 5c3; -2c3) = (0; 0; 0)

Теперь мы имеем систему уравнений:

1. c1 - 3c2 + ac3 = 0
2. -2c1 + c2 + 5c3 = 0
3. -2c3 = 0

Для векторов p, q и r, чтобы они были линейно зависимыми, система уравнений должна иметь нетривиальное решение, то есть решение, при котором не все коэффициенты c1, c2 и c3 равны нулю.

Обратите внимание, что из уравнения 3 следует, что c3 = 0. Теперь рассмотрим уравнения 1 и 2:

1. c1 - 3c2 + ac3 = 0
2. -2c1 + c2 + 5c3 = 0

Подставим c3 = 0:

1. c1 - 3c2 = 0
2. -2c1 + c2 = 0

Теперь можно решить эту систему уравнений. Давайте начнем с уравнения 2:

-2c1 + c2 = 0

Теперь выразим c2:

c2 = 2c1

Теперь подставим это в уравнение 1:

c1 - 3(2c1) = 0

c1 - 6c1 = 0

-5c1 = 0

c1 = 0

Таким образом, мы получили c1 = 0 и c2 = 0. Так как все коэффициенты равны нулю, то векторы p, q и r линейно независимы для любого значения параметра a.