Question

Сумма бесконечной геометрической прогрессии равна 56 , а сумма квадратов членов той же прогрессии равна 448. Найти знаменатель и первый член прогрессии 

Answer 1

$S= \frac{ b_{1} }{1-q}=56 ; S^{2} = \frac{ b_{1}^{2}}{1-q^{2}}=448$, где  $S^{2}$ сумма квадратов членов данной прогрессии
$\left \{ {{ b_{1} =(1-q)56} \atop {b_{1}^{2}=(1-q^{2})448}} \right.$
$(1-q^2)56^2=(1-q^2)448$
$7(1-2q+q^2)=1-q^2$
$8q^2-14q+6=0$
$D=49-4*3*4=1$
$q_{1,2}= \frac{7+-1}{8}=1; \frac{3}{4}$ т.к. -1<q<1, то q=3/4
$b_1=(1- \frac{3}{4} )56=14$

Answer 2

Для нахождения знаменателя (q) и первого члена (a) бесконечной геометрической прогрессии (a, ar, ar^2, ar^3, ...) с известной суммой (S) и суммой квадратов членов (S2), мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. Сумма бесконечной геометрической прогрессии: S = a / (1 - r)

2. Сумма квадратов членов бесконечной геометрической прогрессии: S2 = a^2 / (1 - r^2)

Мы знаем, что S = 56 и S2 = 448. Давайте решим эту систему уравнений для нахождения a и r.

1. S = 56: 56 = a / (1 - r)

2. S2 = 448: 448 = a^2 / (1 - r^2)

Далее мы можем использовать первое уравнение, чтобы выразить "a" через "r" и подставить это значение во второе уравнение:

a = 56 * (1 - r)

Теперь подставим это выражение во второе уравнение:

448 = (56 * (1 - r))^2 / (1 - r^2)

Упростим уравнение:

448 = 3136 * (1 - r)^2 / (1 - r^2)

Далее, домножим обе стороны на (1 - r^2) для избавления от дроби:

448(1 - r^2) = 3136(1 - r)^2

Раскроем квадрат справа:

448(1 - r^2) = 3136(1 - 2r + r^2)

Распределите 448 и 3136:

448 - 448r^2 = 3136 - 6272r + 3136r^2

Подготовьте все члены к одной стороне:

0 = 6272r^3 - 448r^2 - 6272r + 3136

Теперь у нас есть уравнение третьей степени для "r". Мы можем решить его численно или использовать методы численного анализа для нахождения приближенных значений для "r". После нахождения "r" можно будет найти "a" с помощью первого уравнения.