Question

в уравнении (k^2-5k+3)x^2+(3k-1)x+2=0 определите число k так чтобы один из корней был вдвое более другого

Answer 1

Решение
По условию  x1 /x2= 2
Сделаем уравнение приведенным
x^2+(3k-1)/ (k^2-5k+3) x+2/(k^2-5k+3) =0
по теореме Виета
p = (3k-1)/ (k^2-5k+3)
x1 + x2  = - p = - (3k-1)/ (k^2-5k+3)
2*x2 +x2 = - (3k-1)/ (k^2-5k+3)
3*x2  = - (3k-1)/ (k^2-5k+3)
X2 = - (3k-1)/ 3(k^2-5k+3)  (1)  
q = 2/(k^2-5k+3)   
x1*x2 = q = 2/(k^2-5k+3)   ;
2*x2 *x2 = 2/(k^2-5k+3)   ;
X2^2 = 1/(k^2-5k+3)   (2)
Подставляем (1) в (2)
 ( - (3k-1)/ 3)^2  = (k^2-5k+3)   
(1-3k)^2 /9 =  (k^2-5k+3)   
(1-3k)^2  =  9k^2 -45k +27
1 -6k +9k^2 =    9k^2 -45k +27
45k – 6k = 27 -1
39k = 26
K = 26/39 = 2/3
Проверка
Подставим  k= 2/3  в исходное  уравнение
((2/3)^2-5*(2/3)+3)x^2+(3*(2/3)-1)x+2=0
Преобразуем
X^2 +9x +18 = 0
D = 9^2 -4*1*18 = 9 ; √D = +/- 3
X = 1/2 * ( - 9  +/- 3)
X1 = - 6
X2 =  -3
ПРОВЕРКА X1 / X2 =  - 6   /  - 3 = 2
ОТВЕТ   k = 2/3

Answer 2

Для того чтобы один из корней был вдвое больше другого, мы можем использовать дискриминант квадратного уравнения. Дискриминант (D) для уравнения вида ax^2 + bx + c = 0 равен D = b^2 - 4ac.

В данном уравнении (k^2 - 5k + 3)x^2 + (3k - 1)x + 2 = 0:

a = k^2 - 5k + 3 b = 3k - 1 c = 2

Для того чтобы один из корней был вдвое больше другого, мы можем использовать следующее условие:

D > 0 и один из корней равен x1 = (-b + √D) / (2a), а другой равен x2 = (-b - √D) / (2a).

Поскольку один корень должен быть вдвое больше другого, мы можем записать это в виде:

x1 = 2x2

Теперь мы можем решить это уравнение относительно k:

(-b + √D) / (2a) = 2(-b - √D) / (2a)

Теперь подставим значения a, b и c:

(3k - 1 + √D) / (2(k^2 - 5k + 3)) = 2(3k - 1 - √D) / (2(k^2 - 5k + 3))

Теперь упростим уравнение:

(3k - 1 + √D) / (k^2 - 5k + 3) = (6k - 2 - 2√D) / (k^2 - 5k + 3)

Умножим обе стороны на (k^2 - 5k + 3), чтобы избавиться от знаменателей:

(3k - 1 + √D) = (6k - 2 - 2√D)

Теперь выразим √D:

4√D = 3k - 1 - 6k + 2

4√D = -3k + 1

√D = (-3k + 1) / 4

Теперь возводим обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня:

D = ((-3k + 1) / 4)^2

D = (9k^2 - 6k + 1) / 16

Теперь мы можем использовать условие D > 0:

(9k^2 - 6k + 1) / 16 > 0

9k^2 - 6k + 1 > 0

Теперь решим это квадратное неравенство:

Сначала умножим обе стороны на 16, чтобы избавиться от дроби:

9k^2 - 6k + 1 > 0

16(9k^2 - 6k + 1) > 0

144k^2 - 96k + 16 > 0

Теперь можно решить это неравенство с помощью метода интервалов или графически. Ответом будет интервал значений k, для которых это неравенство выполняется.

Решение этого неравенства довольно сложное и требует дополнительных вычислений или графического анализа. Вы можете использовать калькулятор или программу для численного анализа, чтобы найти интервалы значений k, для которых неравенство выполняется.