Question

Разложить на можители:  x^3 - 5*x^2 - 2*x +24

Answer 1

x^3 - 5*x^2 - 2*x +24 = (x^3-3x^2)- 2*x^2 - 2*x +24 = (x^3-3x^2)+(- 2*x^2 +6x)+(- 8*x +24) = (x-3)(x^2-2x-8)=(x+2)(x-3)(x-4)

Answer 2

Для разложения полинома на множители сначала попробуем найти его рациональные корни с помощью метода рациональных корней (теоремы о рациональных корнях). По этой теореме, все рациональные корни полинома будут делителями свободного члена (в данном случае 24) и могут делиться на делители ведущего коэффициента (в данном случае 1).

Сначала найдем все делители числа 24:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

Теперь найдем все возможные комбинации рациональных корней, делящих 24:

±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±8, ±12, ±24

Теперь мы будем подставлять эти значения в полином и искать, равно ли полином нулю при каком-либо из этих значений.

1. Попробуем x = 1: (1^3) - 5(1^2) - 2(1) + 24 = 1 - 5 - 2 + 24 = 18 ≠ 0

2. Попробуем x = -1: (-1^3) - 5(-1^2) - 2(-1) + 24 = -1 - 5 + 2 + 24 = 20 ≠ 0

3. Попробуем x = 2: (2^3) - 5(2^2) - 2(2) + 24 = 8 - 20 - 4 + 24 = 8 ≠ 0

4. Попробуем x = -2: (-2^3) - 5(-2^2) - 2(-2) + 24 = -8 - 20 + 4 + 24 = 0

Мы нашли рациональный корень x = -2. Теперь мы можем использовать синтетическое деление или деление полинома на (x + 2) для нахождения остальных множителей.

(x^3 - 5x^2 - 2x + 24) / (x + 2)

Сначала найдем коэффициенты синтетического деления:

luaCopy code
   -2 |   1   -5   -2   24
        -------------------
         1   -7    14  -28

Результат синтетического деления: x^2 - 7x + 14

Теперь разложим получившийся квадратный трехчлен на множители:

x^2 - 7x + 14 = (x - 2)(x - 7)

Таким образом, разложение полинома x^3 - 5x^2 - 2x + 24 на множители:

x^3 - 5x^2 - 2x + 24 = (x + 2)(x - 2)(x - 7)