Question

Напишите уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке его пересечения с осью абсцисс, если f (x)=9 - x^3.

Answer 1

9-a^3=0
a^3=9
$a= \sqrt[3]{9}$
f '(x)= -3x^2
$f '( \sqrt[3]{9} )= - 9 \sqrt{3}$
y=f(a)+f '(a)(x-a)
$f(a)=9- ( \sqrt[3]{9}) ^{3}=0$
$y= -9 \sqrt{3} (x+ \sqrt[3]{9} )$

Answer 2

Для найти уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке его пересечения с осью абсцисс, нам нужно найти производную функции f(x) и затем использовать её значение в точке пересечения с осью абсцисс.

Данная функция f(x) = 9 - x^3. Найдем её производную:

f'(x) = d/dx [9 - x^3]

Чтобы найти производную, мы просто берем производную каждого члена по отдельности. Для константы 9 производная равна нулю, а для члена -x^3 мы используем правило степенной функции:

f'(x) = 0 - 3x^2 = -3x^2

Теперь, чтобы найти точку пересечения с осью абсцисс, мы должны найти значение x, при котором f(x) = 0. То есть:

0 = 9 - x^3

x^3 = 9

Теперь найдем значение x:

x = ∛9

Теперь у нас есть значение x, при котором график функции пересекает ось абсцисс. Чтобы найти значение y в этой точке, подставим x обратно в исходную функцию:

f(x) = 9 - x^3 f(∛9) = 9 - (∛9)^3

f(∛9) = 9 - 9 = 0

Таким образом, точка пересечения с осью абсцисс имеет координаты (∛9, 0).

Теперь мы можем найти уравнение касательной к графику функции в этой точке, используя найденное значение производной f'(x) = -3x^2 в точке x = ∛9 и формулу для уравнения касательной:

y - y1 = f'(x1)(x - x1)

где (x1, y1) - это точка пересечения, которую мы уже нашли.

y - 0 = -3(∛9)^2(x - ∛9)

Теперь упростим это уравнение:

y = -3(∛9)^2(x - ∛9)

y = -3(∛9)^2(x - ∛9)

Теперь у нас есть уравнение касательной к графику функции в точке пересечения с осью абсцисс:

y = -3(∛9)^2(x - ∛9)