Question

Найти все значения x при которых sin^2(x) равен sin^2(3x)

Answer 1

(1-сos2x)/2-(1-cos6x)/2=0
1/2-1/2cos2x-1/2+1/2cos6x=0
1/2(cos6x-cos2x)=0
1/28(-2sin2xsin4x)=0
-sin2xsin4x=0
sin2x=πn⇒x=πn/2
sin4x=πn⇒x=πn/4
Ответ x=πn/4

Answer 2

Для найти все значения x, при которых sin^2(x) равно sin^2(3x), мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. В данном случае, используем тождество синуса для удвоенного угла:

sin(2θ) = 2sin(θ)cos(θ)

Воспользуемся этим тождеством, чтобы выразить sin^2(3x) через sin^2(x):

sin^2(3x) = sin^2(2(3x)) = sin^2(6x) = 4sin^2(3x)cos^2(3x)

Теперь у нас есть выражение для sin^2(3x) через sin^2(x) и cos^2(3x). Мы можем использовать тождество Пифагора для синуса и косинуса:

sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1

Из этого следует, что:

cos^2(θ) = 1 - sin^2(θ)

Теперь мы можем заменить cos^2(3x) в нашем выражении:

sin^2(3x) = 4sin^2(x)(1 - sin^2(3x))

Теперь давайте решим это уравнение для sin^2(x):

4sin^2(x)(1 - sin^2(3x)) = sin^2(x)

Раскроем скобки:

4sin^2(x) - 4sin^4(3x) = sin^2(x)

Теперь выразим sin^4(3x) через sin^2(x):

4sin^2(x) - 4(sin^2(3x))^2 = sin^2(x)

Пусть sin^2(x) = t. Тогда у нас есть:

4t - 4(sin^2(3x))^2 = t

3t = 4(sin^2(3x))^2

Теперь избавимся от коэффициента 3, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

9t^2 = 16(sin^2(3x))^2

Теперь мы можем воспользоваться положительным и отрицательным значением корня:

3t = ±4sin^2(3x)

Для каждого значения t найдем соответствующие значения sin^2(3x):

1. 3t = 4sin^2(3x) sin^2(3x) = (3/4)t

2. 3t = -4sin^2(3x) sin^2(3x) = -(3/4)t

Теперь мы можем найти значения x, при которых это выполняется, учитывая, что 0 <= sin^2(θ) <= 1:

1. Для первого случая: 0 <= (3/4)t <= 1 0 <= (3/4)sin^2(x) <= 1

2. Для второго случая: -1 <= -(3/4)t <= 0 0 <= (3/4)sin^2(x) <= 1

Таким образом, значения x удовлетворяют уравнению sin^2(x) = (3/4)t, где 0 <= t <= 1, и sin^2(x) = -(3/4)t, где -1 <= t <= 0.