Question

Помогите пожалуйста определить наибольшее и наименьшее значение функции y=f(x), если y=1/2x+cosx в промежутке [0;[tex] \п /2]. Я очень хочу понять, поэтому можно, пожалуйста, по простому.

Answer 1

Решение
Найдём производную 1/2 - sinx
sinx = 1/2 
x= π/6 лежит в промежутке [0;π/2]
Найдём значение функции в каждом числе промежутка x ∈[0;π/2]
sin0 = 0
sin(π/6) = 1/2
sin(π/2) = 1
Выбираем наибольшее sin(π/2) = 1
наименьшее sin0 = 0

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции $y = \frac{1}{2}x + \cos(x)$ на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, вам следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции $y$ по $x$, равную $y'$: $y' = \frac{1}{2} - \sin(x)$

2. Чтобы найти критические точки (места, где производная равна нулю или не существует) на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$, решите уравнение $y' = 0$: $\frac{1}{2} - \sin(x) = 0$

3. Решите уравнение $\sin(x) = \frac{1}{2}$ для $x$, чтобы найти критические точки. На этом интервале, где $\sin(x)$ положительный, есть только одно решение: $\sin(x) = \frac{1}{2} \implies x = \frac{\pi}{6}$

4. Теперь вам нужно найти значения функции $y$ в критической точке и на границах интервала:

   • $y(0)$ (значение функции на левой границе интервала)
   • $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ (значение функции в критической точке)
   • $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$ (значение функции на правой границе интервала)

Вычислим эти значения:

• $y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 + \cos(0) = 1$
• $y\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{6} + \cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ Для $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)$ можно использовать известное значение $\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь вычислите $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$.
• $y\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right)$ Также можно использовать известное значение $\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$.

Сравните полученные значения $y(0)$, $y\left(\frac{\pi}{6}\right)$ и $y\left(\frac{\pi}{2}\right)$, чтобы определить наибольшее и наименьшее значение функции $y = \frac{1}{2}x + \cos(x)$ на интервале $[0, \frac{\pi}{2}]$.