Question

Найдите наименьшее значение выражения: (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10

Answer 1

Производная данного выражения равна:
d/d(x)((x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+10) = 4x³-30x²+70x-50.
Если приравнять производную нулю, то корни такого уравнение будут:
5/2,  5/2-√5/2,  5/2+√5/2.
Первый корень - локальный максимум, а два следующие - локальные минимумы.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения выражения (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10, мы можем воспользоваться методами анализа функций. Давайте найдем экстремумы этой функции.

1. Вычислим производную выражения по переменной x:

   f'(x) = d/dx [(x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10]

   Для этого мы можем использовать правило производной произведения:

   f'(x) = (x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-3)

2. Теперь найдем значения x, при которых производная равна нулю, чтобы найти кандидатов на экстремум:

   (x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-4) + (x-1)(x-2)(x-3) = 0

   Теперь мы должны решить этое уравнение. Решение этого уравнения может быть довольно сложным, и его можно выполнить численно. Найденные значения x будут кандидатами на экстремум.

3. После нахождения кандидатов на экстремум, вычислим вторую производную f''(x) и используем тест на вторую производную, чтобы определить, является ли каждая из найденных точек экстремумами и, если да, то являются ли они минимумами или максимумами.

4. После определения экстремумов вычислим значение выражения (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + 10 в каждой из найденных точек, чтобы найти наименьшее значение.

Важно отметить, что этот метод может потребовать вычислительной мощности для нахождения точных значений экстремумов, и решение уравнения в пункте 2 может быть нетривиальным.