Question

Выполнить действия: ( корень из 5 (косинус пи\8+ i *синус пи\8))^{4} 

Answer 1

Формула Муавра:
$( k (\cos \alpha +i\sin \alpha ))^{n} = k^n (\cos n \alpha +i\sin n\alpha ) , \ n\in N$

$( \sqrt{5} (\cos \frac{ \pi }{8} +i\sin\frac{ \pi }{8}))^{4} = (\sqrt{5})^4 (\cos \frac{ 4\pi }{8} +i\sin\frac{ 4\pi }{8})= \\\ =25 (\cos \frac{ \pi }{2} +i\sin\frac{ \pi }{2})=25 (0+i\cdot1)=25i$

Answer 2

Давайте разберемся с этим выражением по шагам:

1. Вычислим значение внутри скобок:

   $\cos(\pi/8) + i \sin(\pi/8)$

2. Теперь возведем это значение в степень 4:

   $(\cos(\pi/8) + i \sin(\pi/8))^4$

3. Наконец, вычислим корень из 5 этой степени:

   $\sqrt{5}$

Теперь давайте начнем с первого шага и вычислим значение внутри скобок:

$\cos(\pi/8) + i \sin(\pi/8)$

Вычислим значение каждой функции:

$\cos(\pi/8) \approx 0.9239$

$\sin(\pi/8) \approx 0.3827$

Теперь мы можем записать это значение в комплексной форме:

$\cos(\pi/8) + i \sin(\pi/8) \approx 0.9239 + 0.3827i$

Теперь мы можем возвести это значение в степень 4:

$(0.9239 + 0.3827i)^4$

Чтобы возвести комплексное число в степень, можно воспользоваться формулой De Moivre:

$(r(\cos(\theta) + i \sin(\theta)))^n = r^n(\cos(n\theta) + i \sin(n\theta))$

где $r$ - модуль комплексного числа, $\theta$ - аргумент комплексного числа.

В данном случае:

$r = \sqrt{0.9239^2 + 0.3827^2} \approx 1$

$\theta = \arctan(0.3827 / 0.9239) \approx 0.3959$

Теперь можем вычислить:

$(0.9239 + 0.3827i)^4 = 1^4(\cos(4 \cdot 0.3959) + i \sin(4 \cdot 0.3959))$

$(0.9239 + 0.3827i)^4 \approx \cos(1.5836) + i \sin(1.5836)$

И, наконец, возьмем корень из 5 этой степени:

$\sqrt{5} \approx 2.2361$

Итак, результат выражения $\sqrt{5}(\cos(1.5836) + i \sin(1.5836))$ примерно равен:

$2.2361 \cdot (\cos(1.5836) + i \sin(1.5836))$