Question

Помогите пж срочником! а) решите уравнение 4sin^2x-8sinx-5=0 б) найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку {-2П,-П/2}

Answer 1

Решение
4sin^2x-8sinx-5=0
sinx = t
4t² - 8t - 5 = 0
D = 64 + 4*4*5 = 144
t₁ = (8 - 12)/8
t₁ = - 1/2
t₂ = (8 + 12)/8
t₂ = 3,5,      3,5 ∉ [ - 1;1] 
sinx = - 1/2
x = (-1)^k * arcsin(- 1/2) + πk, k∈Z
x = (-1)^(k + 1) * (π/6) + πk, k∈Z
Отбор корней
k=-2; x=-2π
k=-1; x=-π

Answer 2

Давайте начнем с решения уравнения 4sin^2x - 8sinx - 5 = 0:

Мы можем представить уравнение следующим образом:

4sin^2x - 8sinx - 5 = 0

Теперь введем замену: y = sin(x). Тогда уравнение примет вид:

4y^2 - 8y - 5 = 0

Давайте решим это квадратное уравнение для y с помощью квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 * 4 * (-5) = 64 + 80 = 144

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

y1,2 = (-b ± √D) / (2a)

y1 = (8 + √144) / (2 * 4) = (8 + 12) / 8 = 20 / 8 = 5/2 y2 = (8 - √144) / (2 * 4) = (8 - 12) / 8 = -4 / 8 = -1/2

Таким образом, у нас есть два значения y: y1 = 5/2 и y2 = -1/2.

Теперь нам нужно найти значения x, соответствующие этим значениям y, с учетом ограничения x ∈ {-2π, -π/2}.

1. Для y1 = 5/2: sin(x) = 5/2

Это значение находится вне диапазона [-1, 1], поэтому уравнение не имеет решений в данном интервале.

2. Для y2 = -1/2: sin(x) = -1/2

Это значение соответствует углам, для которых sin(x) равен -1/2. Такие углы находятся во втором и четвертом квадрантах и равны -π/6 и -5π/6.

Таким образом, корни уравнения 4sin^2x - 8sinx - 5 = 0, принадлежащие отрезку [-2π, -π/2], равны x = -π/6 и x = -5π/6.