Question

Решите задание,пожайлуста подробно.1)решите уравнение 4sin^3x+1=4sin^2x+sinx б)найдите все корни этого уравнения принадлежащие отрезку [пи,2пи]

Answer 1

4sin^3x+1=4sin^2x+sinx
(4sin³x-4sin³x)-(sinx-1)=0
4sin²x(sinx-1)-(sinx-1)=0
(sinx-1)(4sin²x-1)=0
(sinx-1)(2sinx-1)(2sinx+1)=0
sinx-1=0⇒sinx=1⇒x=π/2+2πk,k∈z
π≤π/2+2πk≤2π
2≤1+4k≤4
1/4≤k≤3/4 нет решения на интервале
2sinx-1=0⇒sinx=1/2⇒x=π/6+2πk U x=5π/6+2πk
π≤π/6+2πk≤2π
6≤1+12k≤12
5/12≤k≤11/12 не решения на интервале
π≤5π/6+2πk≤2π
6≤5+12лk≤12
1/12≤k≤7/12 нет решения на интервале
2sinx+1=0⇒sinx=-1/2⇒x=-π/6+2πk U x=-5π/6+2πk
π≤-π/6+2πk≤2π
6≤-1+12k≤12
7/12≤k≤13/12 
k=1  x=-π/6+2π=11π/6
π≤-5π/6+2πk≤2π
6≤-5+12лk≤12
11/12≤k≤17/12 
k=1  x=-5π/6+2π=7π/6

Answer 2

Давайте решим уравнение 4sin^3x + 1 = 4sin^2x + sinx шаг за шагом:

1. Обозначим sin(x) за t, чтобы упростить запись уравнения: 4t^3 + 1 = 4t^2 + t

2. Перенесем все члены уравнения на одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: 4t^3 - 4t^2 - t + 1 = 0

3. Попробуем разложить левую часть уравнения на множители. Начнем с поиска целочисленных корней. Подставим в уравнение некоторые целочисленные значения t (обычно начинают с -1, 0, 1) и проверим, равно ли уравнение нулю при таких значениях:

   При t = -1: 4(-1)^3 - 4(-1)^2 - (-1) + 1 = 4 + 4 + 1 + 1 = 10 ≠ 0

   При t = 0: 4(0)^3 - 4(0)^2 - (0) + 1 = 1 ≠ 0

   При t = 1: 4(1)^3 - 4(1)^2 - (1) + 1 = 4 - 4 - 1 + 1 = 0

   Мы нашли, что t = 1 является корнем уравнения.

4. Используя синтетическое деление или другие методы, разделим уравнение на (t - 1), чтобы найти квадратное уравнение: (4t^3 - 4t^2 - t + 1) / (t - 1) = 0

   При делении получим: 4t^2 + 4t + 1 = 0

5. Решим квадратное уравнение. Мы видим, что коэффициенты соответствуют квадратному трехчлену (a = 4, b = 4, c = 1), поэтому можем использовать квадратное уравнение t^2 + t + 1/4 = 0.

   Приведем уравнение к виду (t + 1/2)^2 = 0: t^2 + t + 1/4 = 0 (t + 1/2)^2 = 0

6. Получили, что (t + 1/2)^2 = 0, что значит, что t + 1/2 = 0. Решим это уравнение: t + 1/2 = 0 t = -1/2

7. Вернемся к исходной переменной x и найденному значению t. Так как sin(x) = t, то можем подставить найденное значение t: sin(x) = -1/2