Question

1) Решите уравнение 4sin^3 X+1=4sin^2 X+sinX 2) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π; 2π]

Answer 1

Замена sin x = t
4t^3 - 4t^2 - t + 1 = 0
4t^2*(t - 1) - (t - 1) = 0
(t - 1)(4t^2 - 1) = 0
(t - 1)(2t + 1)(2t - 1) = 0
1) t = sin x = 1; x = pi/2 + 2pi*k
2) t = sin x = -1/2; x = (-1)^k*(-pi/6) + pi*k
3) t = sin x = 1/2; x = (-1)^k*(pi/6) + pi*k

В промежуток [pi; 2pi] будет sin x < 0, поэтому подходят только корни из
2) пункта: x1 = 7pi/6; x2 = 11pi/6

Answer 2

Для начала, решим уравнение 4sin^3(X) + 1 = 4sin^2(X) + sin(X):

4sin^3(X) + 1 = 4sin^2(X) + sin(X)

Перенесем все термины на одну сторону:

4sin^3(X) - 4sin^2(X) - sin(X) + 1 = 0

Теперь попробуем факторизовать уравнение:

(4sin^2(X) - 1)(sin(X) - 1) = 0

Теперь решим два уравнения, которые дают нам корни:

1. 4sin^2(X) - 1 = 0

sin^2(X) = 1/4

sin(X) = ±√(1/4)

sin(X) = ±1/2

X = arcsin(1/2) и X = arcsin(-1/2)

На отрезке [0; 2π] у нас есть два значения, соответствующие этим двум углам:

X₁ = π/6 и X₂ = 5π/6

2. sin(X) - 1 = 0

sin(X) = 1

X = π/2

Таким образом, получаем три корня на отрезке [0; 2π]: π/6, π/2 и 5π/6.