Question

Разложите квадратный трехчлен на множители: x^2+x-56 5x^2-18x+16 3x^2-11x-14 x^2-x-1 6x^2+5mx+m^2 (m-n)x^2-nx-m

Answer 1

$1)\; \; x^2+x-56=(x+7)(x-8)\\\\2)\; \; 5x^2-18x+16=0\; ,\; \; x_{1,2}=\frac{9\pm 1}{5}= \left [ {{x=\frac{8}{5}} \atop {x=2}} \right. \\\\5x^2-18x+16=5(x-\frac{8}{5})(x-2)=(5x-8)(x-2)\\\\3)\; \; 3x^2-11x-14=0\; ,\; \; x_{1,2}=\frac{11\pm 17}{6}= \left [ {{x=-1} \atop {x=\frac{14}{3}}} \right. \\\\3x^2-11x-14=3(x+1)(x-\frac{14}{3})=(x+1)(3x-14)\\\\4)\; \; x^2-x-1=0\; ,\; x_{1,2}= \frac{1\pm \sqrt5}{2} \\\\x^2-x-1=\left (x-\frac{1-\sqrt5}{2}\right )\left (x-\frac{1+\sqrt5}{2}\right )$

$5)\; \; 6x^2+5mx+m^2=0\\\\D=25m^2-24m^2=m^2\\\\x_1=\frac{-5m-|m|}{12}= \left [ {{-\frac{m}{3},\; m\ \textless \ 0} \atop {-\frac{m}{2},\; m \geq 0}} \right. \\\\x_2= \frac{-5m+|m|}{12}= \left [ {{-\frac{m}{2},\; m\ \textless \ 0} \atop {-\frac{m}{3},\; m \geq 0}} \right. \\\\6x^2+5mx+m^2=6(x-\frac{5m+|m|}{12})(x+\frac{5m-|m|}{12})=$

$=6(x+\frac{m}{2})(x+\frac{m}{3})=(2x+m)(3x+m)$

$6)\; \; (m-n)x^2-nx-m=0\\\\D=n^2+4m(m-n)=n^2-4mn+4m^2=(n+2m)^2\\\\x_1=\frac{n-|n+2m|}{2(m-n)}\; ,\; \; x_2=\frac{n+|n+2m|}{2(m-n)}$

$(m-n)x^2-nx-m=(m-n)(x-\frac{n-|n+2m|}{2(m-n)})(x-\frac{n+|n+2m|}{2(m-n)})$

Answer 2

Давайте разложим каждый из данных квадратных трехчленов на множители:

1. x^2 + x - 56

   Мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы получить -56 и складываются, чтобы получить 1 (коэффициент при x). Эти числа - 8 и -7.

   Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен следующим образом:

   x^2 + x - 56 = (x + 8)(x - 7)

2. 5x^2 - 18x + 16

   Давайте начнем с поиска двух чисел, которые перемножаются, чтобы получить 5 * 16 = 80 и складываются, чтобы получить -18. Эти числа -10 и -8.

   Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен следующим образом:

   5x^2 - 18x + 16 = 5(x^2 - 10x - 8)

3. 3x^2 - 11x - 14

   Для этого трехчлена мы ищем два числа, которые перемножаются, чтобы получить 3 * (-14) = -42 и складываются, чтобы получить -11. Эти числа 6 и -7.

   Теперь мы можем разложить квадратный трехчлен следующим образом:

   3x^2 - 11x - 14 = 3(x^2 + 6x - 7)

4. x^2 - x - 1

   Этот трехчлен более сложный, и его нельзя разложить на целые множители, используя целые числа. Он останется в такой форме: x^2 - x - 1.

5. 6x^2 + 5mx + m^2

   Этот трехчлен может быть разложен на множители следующим образом:

   6x^2 + 5mx + m^2 = (2x + m)(3x + m)

6. (m-n)x^2 - nx - m

   Этот трехчлен может быть разложен на множители следующим образом:

   (m-n)x^2 - nx - m = x^2(m - n) - (m - n) = (x^2 - 1)(m - n)

   Мы использовали разность квадратов для разложения x^2 - 1.

Теперь вы знаете, как разложить данные квадратные трехчлены на множители.