Question

25 баллов. Найдите первообразную для функций: А)f(x)=2/корень из x +4x Б)f(x)=3cosx/3 + 5/x^2 . Помогите, пожалуйста!

Answer 1

$1)\; \; \int \frac{2dx}{\sqrt{x}+4x}=[\, t=\sqrt{x},\; x=t^2\; ,\; dx=2t\, dt\, ]=2\int \frac{2t\, dt}{t+4t^2}=\\\\=4\int \frac{t\, dt}{t(1+4t)} =4\int \frac{dt}{4t+1}=4\cdot \frac{1}{4}\cdot ln|4t+1|+C=ln|4\sqrt{x}+1|+C\\\\2)\; \; \int (3cos\frac{x}{3}+\frac{5}{x^2})dx=3\cdot 3sin\frac{x}{3}-\frac{5}{x}+C$

Answer 2

Для нахождения первообразной функции (интеграла) для данных функций, давайте рассмотрим каждую из них по очереди:

А) $f(x) = \frac{2}{\sqrt{x}} + 4x$

Для интегрирования этой функции сначала разделим ее на две части и интегрируем каждую из них отдельно:

$\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx + \int 4x dx$

Теперь найдем интегралы каждой из частей:

1. $\int \frac{2}{\sqrt{x}} dx = 2 \int x^{-1/2} dx$

Интегрируем $x^{-1/2}$ относительно x:

$2 \int x^{-1/2} dx = 2 \cdot \frac{x^{1/2}}{1/2} + C_1 = 4\sqrt{x} + C_1$

2. $\int 4x dx = 4 \int x dx$

Интегрируем 4x относительно x:

$4 \int x dx = 4 \cdot \frac{x^2}{2} + C_2 = 2x^2 + C_2$

Теперь объединим результаты:

$f(x) = 4\sqrt{x} + 2x^2 + C$

где $C = C_1 + C_2$ - произвольная постоянная интеграции.

B) $f(x) = \frac{3\cos(x)}{3} + \frac{5}{x^2}$

Сначала разделим эту функцию на две части и интегрируем каждую из них отдельно:

$\int \frac{3\cos(x)}{3} dx + \int \frac{5}{x^2} dx$

1. $\int \frac{3\cos(x)}{3} dx = \int \cos(x) dx$

Интегрируем $\cos(x)$ относительно x:

$\int \cos(x) dx = \sin(x) + C_1$

2. $\int \frac{5}{x^2} dx = 5\int x^{-2} dx$

Интегрируем $x^{-2}$ относительно x:

$5\int x^{-2} dx = 5 \cdot \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{5}{x} + C_2$

Теперь объединим результаты:

$f(x) = \sin(x) - \frac{5}{x} + C$

где $C = C_1 + C_2$ - произвольная постоянная интеграции.