Question

Найдите сумму восьми первых членов геометрической прогрессии с положительными членами,зная,что b3=0,05 и b5=0,45

Answer 1

$b_3=0,05\; ;\; \; b_5=0,45\\\\b_5=b_3\cdot q^2\; \; \to \; \; q^2= \frac{b_5}{b_3} = \frac{0,45}{0,05} =9\; \; \to \; \; q=\pm 3\\\\1)\; \; \; q=3\\\\b_3=b_1\cdot q^2\; \; \to \; \; b_1=\frac{b_3}{q^2}=\frac{0,05}{9}=\frac{5}{900}=\frac{1}{180}\\\\S_8=\frac{b_1(1-q^8)}{1-q}= \frac{\frac{1}{180}(1-3^8)}{1-3} = \frac{(-6560)}{-2\cdot 180}=\frac{328}{18}=\frac{164}{9}\\\\2)\; \; \; q=-3\\\\b_1=\frac{b_3}{q^2}= \frac{0,05}{9}=\frac{1}{180}$

  $S_8= \frac{\frac{1}{180}\cdot (1-(-3)^8)}{1-(-3)}= \frac{-6560}{180\cdot 4}= \frac{164}{18}= \frac{82}{9}$

Answer 2

Для нахождения суммы восьми первых членов геометрической прогрессии с положительными членами, нам нужно знать первый член (b1) и знаменатель (q) этой прогрессии. Нам даны значения третьего (b3) и пятого (b5) членов прогрессии.

Сначала найдем знаменатель q, используя информацию о b3 и b5: b3 = b1 * q^2 b5 = b1 * q^4

Теперь давайте поделим второе уравнение на первое: (b5 / b3) = (b1 * q^4) / (b1 * q^2)

Это уравнение упрощается до: q^2 = (b5 / b3)

Теперь мы можем найти q: q = sqrt(b5 / b3) q = sqrt(0.45 / 0.05) q = sqrt(9) q = 3

Теперь у нас есть знаменатель q, и нам нужно найти первый член b1. Мы можем использовать любое из уравнений, чтобы найти b1. Давайте воспользуемся уравнением b3 = b1 * q^2: 0.05 = b1 * (3^2) 0.05 = b1 * 9

Теперь найдем b1: b1 = 0.05 / 9 b1 = 0.00555555555 (округлим до 10 знаков после запятой)

Теперь у нас есть первый член (b1 = 0.00555555555) и знаменатель (q = 3) геометрической прогрессии. Мы можем найти сумму восьми первых членов с помощью формулы суммы геометрической прогрессии:

Сумма = b1 * (1 - q^n) / (1 - q)

Где n - количество членов прогрессии. В данном случае, n = 8. Подставляем значения: Сумма = 0.00555555555 * (1 - 3^8) / (1 - 3)

Вычисляем: Сумма = 0.00555555555 * (1 - 6561) / (-2) Сумма = 0.00555555555 * (-6560) / (-2) Сумма = 18.5185185

Сумма восьми первых членов геометрической прогрессии равна 18.5185185.