Question

Решите неравенство: а) 3х^2-2х-5>0; б) х^2 + 6х+ 9 <0; в) –х^2 + 6х ≥ 0.

Answer 1

D=49, x1=-1, x2=2,5. x принадлежит "минус бесконечность; -1" и " 2,5; плюс бесконечность"

Answer 2

Давайте решим каждое из неравенств:

а) $3x^2 - 2x - 5 > 0$:

Сначала найдем корни квадратного трехчлена $3x^2 - 2x - 5 = 0$:

Используя квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$, где в данном случае $a = 3$, $b = -2$, $c = -5$, находим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64.$

Так как дискриминант положителен, уравнение имеет два различных действительных корня:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm 8}{6}.$

Итак, $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Теперь определим интервалы, на которых выполняется неравенство $3x^2 - 2x - 5 > 0$. Для этого построим знаки производной:

1. Первая производная: $f'(x) = 6x - 2$.
2. Точки, где $f'(x) = 0$: $x = \frac{1}{3}$.
3. Тестовые интервалы: $(-\infty, \frac{1}{3})$ и $(\frac{1}{3}, +\infty)$.
4. Тестовая точка в интервале $(-\infty, \frac{1}{3})$: $x = 0$. $f'(0) = -2$, что означает, что функция убывает на этом интервале.
5. Тестовая точка в интервале $(\frac{1}{3}, +\infty)$: $x = 1$. $f'(1) = 4$, что означает, что функция возрастает на этом интервале.

Собирая всё вместе, неравенство $3x^2 - 2x - 5 > 0$ выполняется на интервалах $(-\infty, -1)$ и $(\frac{5}{3}, +\infty)$.

б) $x^2 + 6x + 9 < 0$:

Заметим, что данное неравенство эквивалентно $(x + 3)^2 < 0$, но квадрат никогда не может быть отрицательным. Таким образом, данное неравенство не имеет решений.

в) $-x^2 + 6x \geq 0$:

Сначала решим связанное с этим неравенство уравнение $-x^2 + 6x = 0$. Факторизуем его:

$-x(x - 6) = 0$.

Отсюда получаем два корня: $x = 0$ и $x = 6$.

Теперь определим интервалы, на которых выполняется неравенство $-x^2 + 6x \geq 0$. Для этого построим знаки функции:

1. Точки, где $-x^2 + 6x = 0$: $x = 0$ и $x = 6$.
2. Тестовые интервалы: $(-\infty, 0)$, $(0, 6)$ и $(6, +\infty)$.
3. Тестовая точка в интервале $(-\infty, 0)$: $x = -1$. $-(-1)^2 + 6(-1) = -7$, что означает, что функция отрицательна на этом интервале.
4. Тестовая точка в интервале $(0, 6)$: $x = 1$