Question

Проведите полное исследование ф-и и постройте ее график. y=((x+2)/(x-2))^2

Answer 1

Берем производную:
y'=2x+4/x-2;
2x+4/x-2=0;
x1=-2;
x2=2; - выколотая точка;
y=0; значит:
точка (-2;0) - экстремиум функции;
методом интервалов находим убывание/возрастание:
убывает: (-беск;-2]
возрастает: [-2;+беск)
ищем асимптоты:
слева: lim(x->-беск)(x+2/x-2)^2;
справа: lim(x->беск)(x+2/x-2)^2;
эти пределы равны:
=x+2/x-2=1+0/1-0=1;
значит уравнение горизонтальной асимтоты и слева и справа: y=1;
наклонные асимтоты совпадают с горизонтальными;
пересекает ох при х=-2; (-2;0)
оу при у=1; (0;1)
берем еще несколько точек и строим график

Answer 2

Конечно, давайте проведем исследование функции $y = \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2$ и построим её график.

1. Область определения

Функция определена для всех значений $x$, кроме тех, которые делают знаменатель равным нулю ($x = 2$), так как деление на ноль невозможно. Таким образом, область определения функции: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Асимптоты

Для анализа асимптот функции, давайте разберемся с горизонтальными и вертикальными асимптотами:

а) Вертикальная асимптота:

Поскольку $x = 2$ является точкой, где функция становится неопределенной, это может быть вертикальной асимптотой. Однако, давайте проверим предел функции при $x \to 2$:

$$\lim_{{x \to 2}} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 = \infty$$

Поскольку предел стремится к бесконечности, вертикальная асимптота отсутствует.

б) Горизонтальная асимптота:

Давайте посмотрим, как функция ведет себя при $x \to \infty$ и $x \to -\infty$:

$$\lim_{{x \to \infty}} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 = 1$$

$$\lim_{{x \to -\infty}} \left(\frac{x + 2}{x - 2}\right)^2 = 1$$

Поскольку оба предела равны 1, горизонтальная асимптота на уровне $y = 1$ существует.

3. Точки пересечения с осями координат

Давайте найдем точки пересечения функции с осями координат:

• При $x = 0$: $y = \left(\frac{0 + 2}{0 - 2}\right)^2 = 1$, таким образом, точка пересечения — (0, 1).
• При $y = 0$: Нет решений, так как квадрат не может быть отрицательным.

4. Поведение на интервалах

Исследуем поведение функции на интервалах между асимптотами и в окрестности точки, где функция неопределена ($x = 2$).

• При $x < 2$: В этом интервале $x + 2 < 0$, а $x - 2$ отрицательно, поэтому дробь $\frac{x + 2}{x - 2}$ положительна. Возводя её в квадрат, мы получаем положительные значения. Таким образом, функция положительна на этом интервале.
• При $2 < x$: В этом интервале $x + 2$ и $x - 2$ положительны, следовательно, дробь положительна. При возведении в квадрат она остается положительной.
• Поведение в окрестности точки $x = 2$: Здесь функция неопределена, но мы видим, что при приближении к 2 значение функции растет до бесконечности.

5. Построение графика

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет вертикальную асимптоту в $x = 2$ и горизонтальную асимптоту на $y = 1$. Она положительна на всей своей области определения.