Question

Проверьте что знаменатель q данной геометрической прогрессии удовлетворяет условию модуль q < 1, и найдите сумму этой прогрессии a) 9; 3; 1; ...; b) 2; -1/2; 1/8; ...;

Answer 1

1) По определенмю:
q = b2/b1
b1 = 9; b2 = 3.
q = 3/9 = 1/3
1/3 < 1, значит, q < 1.
Данная геометрическая прогрессия является бесконечной и убывающей.
Тогда S = b1/(1 - q) = 9/(1 - 1/3) = 9/(2/3) = 27/2 = 13,5.

2) q = b2/b1 = (-1/2)/2 = -1/4
S = b1/(1 - q) = 2/(1 + 1/4) = 2/(5/4) = 8/5 = 1,6.

Answer 2

Для того чтобы геометрическая прогрессия сходилась, модуль знаменателя q должен быть меньше 1. Проверим это условие для каждой из данных прогрессий.

a) Прогрессия: 9, 3, 1, ... Здесь первый член (a_1) равен 9, второй член (a_2) равен 3. Чтобы найти знаменатель q, мы можем использовать соотношение: q = a_2 / a_1 = 3 / 9 = 1/3

Модуль знаменателя |q| = |1/3| = 1/3, что меньше 1. Таким образом, условие сходимости выполняется для данной прогрессии.

Чтобы найти сумму этой геометрической прогрессии, используем формулу для суммы геометрической прогрессии: S = a_1 / (1 - q)

где S - сумма прогрессии, a_1 - первый член прогрессии, q - знаменатель.

Подставляя значения, получаем: S = 9 / (1 - 1/3) = 9 / (2/3) = 9 * 3/2 = 27/2 = 13.5

Таким образом, сумма прогрессии 9, 3, 1, ... равна 13.5.

b) Прогрессия: 2, -1/2, 1/8, ... Здесь первый член (a_1) равен 2, второй член (a_2) равен -1/2. Найдем знаменатель q: q = a_2 / a_1 = (-1/2) / 2 = -1/4

Модуль знаменателя |q| = |-1/4| = 1/4, что меньше 1. Таким образом, условие сходимости также выполняется для этой прогрессии.

Используя формулу для суммы геометрической прогрессии: S = a_1 / (1 - q)

Подставляя значения, получаем: S = 2 / (1 - (-1/4)) = 2 / (5/4) = 8/5 = 1.6

Сумма прогрессии 2, -1/2, 1/8, ... равна 1.6.

Таким образом, мы проверили условие сходимости для обеих прогрессий и нашли их суммы.