Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=cos , y=0, x=pi/6, x=5pi/6

Answer 1

$\int\limits^{5 \pi /6}_{ \pi /6} \, \int\limits^{cosx}_0 {dxdy}= \int\limits^{5 \pi /6}_{ \pi /6} \, {cosxdx}={sinx}|({5 \pi /6; \pi /6})= \\ =sin(5 \pi /6)-sin( \pi /6)=0$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры ограниченной кривыми, сначала нужно найти точки пересечения кривых, а затем интегрировать разность их уравнений по x в пределах этих точек.

Заданные уравнения кривых:

1. y = cos(x)
2. y = 0
3. x = π/6
4. x = 5π/6

Точки пересечения кривых:

• Пересечение 1: y = cos(x) и y = 0. Это происходит, когда cos(x) = 0, то есть при x = π/2 и x = 3π/2.
• Пересечение 2: x = π/6 и x = 5π/6.

Интересующая нас фигура ограничена кривыми y = cos(x), y = 0, x = π/6 и x = 5π/6 между точками пересечения 1 и 2.

Площадь можно найти как интеграл от y = cos(x) до y = 0 по x в пределах x = π/6 и x = 5π/6:

$S = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (0 - \cos(x)) dx$

Вычислим этот интеграл:

$S = \int_{\pi/6}^{5\pi/6} (-\cos(x)) dx = \left[\sin(x)\right]_{\pi/6}^{5\pi/6} = \sin(5\pi/6) - \sin(\pi/6)$

Так как $\sin(5\pi/6) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\pi/6) = \frac{1}{2}$, получаем:

$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 0$

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривыми y = cos(x), y = 0, x = π/6 и x = 5π/6 равна 0.