Question

Построить гиперболу y=8/x и построить новую гиперболу: сдвиг влево по оси Ох на две единицы и вниз на три; напишите формулу, которая задает новую функцию и описать ее свойства

Answer 1

y=8/x - исходная гипербола - голубеньким цветом
y=-3+8/(x+2) - сдвиг влево по оси Ох на две единицы и вниз на три - коричневая

Answer 2

Исходная гипербола: y = 8/x.

Новая гипербола сдвигается влево на 2 единицы и вниз на 3 единицы. Для выполнения этого сдвига, мы просто должны изменить аргумент и функцию сдвига:

Сдвиг влево на 2 единицы: x -> x + 2 Сдвиг вниз на 3 единицы: y -> y - 3

Таким образом, новая гипербола будет иметь уравнение:

y' = 8 / (x + 2) - 3.

Это и есть уравнение новой гиперболы после сдвига. Теперь давайте рассмотрим некоторые из её свойств:

1. Асимптоты: Новая гипербола также будет иметь асимптоты. Асимптоты гиперболы y = a/x имеют уравнения y = 0 и x = 0. После сдвига асимптоты уравнений не изменятся, поэтому асимптоты новой гиперболы будут: y = 0 и x = 0.

2. Симметрия: Гипербола y' = 8 / (x + 2) - 3 будет симметричной относительно асимптот x = 0 и y = 0, так же как и исходная гипербола.

3. Ветви: Поскольку аргумент x в знаменателе, гипербола имеет ветви в I и III квадрантах, как и исходная гипербола.

4. Фокусы и директрисы: Фокусы и директрисы гиперболы также сдвинутся на 2 единицы влево и 3 единицы вниз, но их конкретные значения зависят от формы канонического уравнения гиперболы.

5. Центр и асимптотические углы: Центр и асимптотические углы гиперболы также будут зависеть от её формы после сдвига.

Итак, новая гипербола после сдвига будет сохранять основные свойства гиперболы, но её параметры, такие как фокусы, директрисы, центр и асимптотические углы, будут изменены из-за сдвига на 2 единицы влево и 3 единицы вниз.