Question

Вычислите значение производной функции ∫(x)= sin²1-10ˣ 1₊10ˣ в точке x =0 не могу записать: 1-10ˣ -числитель, а 1+10ˣ знаменатель

Answer 1

$f(x)=sin^2\, \frac{1-10^{x}}{1+10^{x}} \\\\f'(x)=2\cdot sin\, \frac{1-10^{x}}{1+10^{x}} \cdot cos\, \frac{1-10^{x}}{1+10^{x}}\cdot \frac{-10^{x}\cdot ln10\cdot (1+10^{x})-(1-10^{x})\cdot 10^{x}\cdot ln10}{(1+10^{x})^2}=\\\\=sin\Big (2\cdot \frac{1- 10^{x}}{1+10^{x}} \Big )\cdot \frac{-2\cdot 10^{x}\cdot ln10}{(1+10^{x})^2}$

Answer 2

Для вычисления производной функции, которая задана в виде интеграла, воспользуемся формулой дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом. Пусть функция F(x) задана следующим образом:

F(x) = ∫[a(x), b(x)] f(t) dt.

Тогда производная этой функции по x выражается следующим образом:

F'(x) = f(b(x)) * b'(x) - f(a(x)) * a'(x).

В нашем случае, функция задана следующим образом:

F(x) = ∫[1-10ˣ, 1+10ˣ] sin²t dt.

Таким образом, f(t) = sin²t, a(x) = 1 - 10ˣ и b(x) = 1 + 10ˣ.

Теперь найдем производные a'(x) и b'(x):

a'(x) = d/dx (1 - 10ˣ) = -10 * (10ˣ * ln(10)) = -10ˣ * ln(10).

b'(x) = d/dx (1 + 10ˣ) = 10 * (10ˣ * ln(10)) = 10ˣ * ln(10).

Теперь подставим значения в формулу производной:

F'(x) = sin²(1 + 10ˣ) * (10ˣ * ln(10)) - sin²(1 - 10ˣ) * (-10ˣ * ln(10)).

Так как x = 0, подставим это значение:

F'(0) = sin²(1) * (10⁰ * ln(10)) - sin²(1) * (-10⁰ * ln(10)).

Так как sin²(1) равен приблизительно 0.70807341827 и 10⁰ равен 1, а -10⁰ также равен 1, упростим выражение:

F'(0) = 0.70807341827 * ln(10) - 0.70807341827 * ln(10) = 0.

Таким образом, значение производной функции в точке x = 0 равно 0.