Question

Помогитее Доведіть тотожність: 1 – соsα – sinα = 2√2∙sin0,5αsin(0,5α- 0,25π).

Answer 1

$\underbrace {1-cosa}_{2sin^2a/2}-sina=2\cdot sin^2\frac{a}{2}-2\cdot sin\frac{a}{2}\cdot cos\frac{a}{2}=\\\\=2sin\frac{a}{2}\cdot (sin\frac{a}{2}-cos\frac{a}{2})=\\\\\star \; sinx-cosx= sinx-sin(\frac{\pi }{2}-x)=\\\\=2\cdot sin\frac{x-(\frac{\pi }{2}-x)}{2}\cdot cos\frac{x+(\frac{\pi}{2}-x)}{2}=\\\\=2\cdot sin(x-\frac{\pi }{4})\cdot cos\frac{\pi }{4}=2\cdot sin(x-\frac{\pi }{4})\cdot \frac{\sqrt2}{2}=\\\\=\sqrt2\cdot sin(x-\frac{\pi }{4})\; \; \star$

$=2sin \frac{a}{2}\cdot \sqrt2\cdot sin( \frac{a}{2}-\frac{\pi }{4})=2\sqrt2\cdot sin \frac{a}{2}sin(\frac{a}{2}-\frac{\pi }{4})=\\\\=2\sqrt2\cdot sin0,5a\cdot sin(0,5a-0,25\pi )$

Answer 2

Давайте доведемо дану тотожність:

1 - cos(α) - sin(α) = 2√2·sin(0,5α)·sin(0,5α - 0,25π)

По правій стороні маємо добуток двох синусів. Застосуємо формулу для подвійного кута синусу:

sin(2θ) = 2·sin(θ)·cos(θ)

Тоді можемо переписати праву частину тотожності таким чином:

2√2·sin(0,5α)·sin(0,5α - 0,25π) = 2√2·sin(0,5α)·[sin(0,5α)·cos(-0,25π) - cos(0,5α)·sin(-0,25π)]

Звернімо увагу, що cos(-0,25π) = cos(0,25π), оскільки косинус є парною функцією, і sin(-0,25π) = -sin(0,25π), оскільки синус є непарною функцією. Також, використаємо trigonometric identity: sin(0,25π) = sin(π/4) = 1/√2 та cos(0,25π) = cos(π/4) = 1/√2.

2√2·sin(0,5α)·[sin(0,5α)·cos(-0,25π) - cos(0,5α)·sin(-0,25π)] = 2√2·sin(0,5α)·[sin(0,5α)·(1/√2) - cos(0,5α)·(-1/√2)]

Тепер, спростимо вираз у квадратні дужки:

2√2·sin(0,5α)·[sin(0,5α)·(1/√2) - cos(0,5α)·(-1/√2)] = 2√2·sin(0,5α)·[(1/√2)·sin(0,5α) + (1/√2)·cos(0,5α)]

Тепер скористаємося формулами для синуса та косинуса суми двох кутів:

sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β) cos(α + β) = cos(α)·cos(β) - sin(α)·sin(β)

Призначимо:

α = 0,5α β = 0,25π

Тоді маємо:

sin(0,5α + 0,25π) = sin(0,5α)·cos(0,25π) + cos(0,5α)·sin(0,25π)

Замінимо значення cos(0,25π) і sin(0,25π):

cos(0,25π) = 1/√2 sin(0,25π) = 1/√2

Підставимо ці значення у попередню формулу:

sin(0,5α + 0,25π) = sin(0,5α)·(1/√2) + cos(0,5α)·(1/√2)

Скоротимо на √2:

sin(0,5α + 0,25π) = (1/√2)·[sin(0,5α) + cos(0,5α)]

Тепер маємо:

2√2·sin(0,5α)·[(1/√2)·sin(0,5α) + (1/√2)·cos(0,5α)] = 2√2·sin(0,5α)·sin(0,5α + 0,25π)

Таким чином, ми показали, що ліва частина тотожності (1 - cos(α) - sin(α)) дорівнює правій частині (2√2·sin(0,5α)·sin(0,5α + 0,25π)), тому дана тотожність є вірною.