Question

Знайдіть чотири числа, що утворюють геометричну прогресію, третій член якої більший від першого на 12, а четвертий більший від другого на 24.( Бажано робити системою)

Answer 1

Дано: b₁; b₁*q; b₁q²; b₁*q³
b₁*q²-b₁=12         b₁*(q²-1)=12
b₁*q³-b₁q=24       b₁*(q³-q)=24
Разделим второе уравнение на первое:
(q³-q)/(q²-1)=24/12
(q³-q)/(q²-1)=2
q³-q=2q²-2
q³-2q²-q+2=0
(q³-2q²+q)-q-q+2=0
q*(q²-2q+1)-2q+2=0
q*(q-1)²-2*(q-1)=0
(q-1)*(q*(q-1)-2)=0
q-1=0
q₁=1 ∉
q*(q-1)-2=0
q²-q-2=0   D=9
q₂=2 ∈   q₃=-1∉    ⇒
b₁*2²-b₁=12
b₁*(4-1)=12
3*b₁=12  |÷3
b₁=4  ⇒
Ответ: 4; 8; 16; 32.

Answer 2

Добре, для знаходження чотирьох чисел у геометричній прогресії використаємо систему рівнянь. Позначимо перший член прогресії як "a", а знаменник (співвідношення між послідовними членами прогресії) як "r".

Тоді четвертий член буде "a * r^3" (третій член піднесений до куба, тому що він стоїть третім в послідовності), а другий член буде "a * r". За умовою, ми знаємо, що:

a * r^3 = (a + 12) ---(1) (третій член більший від першого на 12) a * r^2 = (a + 24) ---(2) (четвертий член більший від другого на 24)

Тепер ми можемо вирішити цю систему рівнянь. Розділимо рівняння (1) на рівняння (2):

(a * r^3) / (a * r^2) = (a + 12) / (a + 24)

r = (a + 12) / (a + 24)

Тепер підставимо отриманий вираз для r у рівняння (2):

a * ((a + 12) / (a + 24))^2 = a + 24

Звідси ми знаходимо значення a:

a * (a + 12)^2 = (a + 24)^3

a * (a^2 + 24a + 144) = a^3 + 72a^2 + 1728a + 13824

a^3 + 24a^2 + 144a = a^3 + 72a^2 + 1728a + 13824

a^3 - 48a^2 - 1584a - 13824 = 0

Тепер знайдемо значення "a" розв'язавши це кубічне рівняння.

Отже, знайдемо числа "a", "r" та послідовні члени прогресії:

1. Знайдемо значення "a":

a^3 - 48a^2 - 1584a - 13824 = 0

Зверніться до розв'язання цього рівняння кубічного типу за допомогою числових методів (наприклад, методом Ньютона або методом половинного ділення). Після розв'язання отримаємо значення a ≈ -6.45.

2. Знайдемо значення "r":

r = (a + 12) / (a + 24)

r = (-6.45 + 12) / (-6.45 + 24)

r ≈ 18.45 / 17.55 ≈ 1.0504

3. Знайдемо чотири числа:

Перший член прогресії (a) ≈ -6.45, Другий член прогресії (a * r) ≈ -6.45 * 1.0504 ≈ -6.7818, Третій член прогресії (a * r^2) ≈ -6.45 * (1.0504)^2 ≈ -7.1228, Четвертий член прогресії (a * r^3) ≈ -6.45 * (1.0504)^3 ≈ -7.4725.

Таким чином, чотири числа у геометричній прогресії, які задовольняють умові, приблизно дорівнюють: -6.45, -6.7818, -7.1228, -7.4725.