Question

Исследуйте функции и постройте их графики y=x^2-x^3

Answer 1

y=x²-x³    x ∈R   x=0  y=0
y'=2x-3x²=x(2-3x)
 точки экстремума x=0; x=2/3
-------------------0---------------------2/3------------------
        -              min         +            max               -
      уб.                           возр.                     уб.

Answer 2

Для исследования функции y = x^2 - x^3 сначала рассмотрим ее основные характеристики:

1. Область определения: Функция определена для любого значения x, так как не содержит никаких ограничений в знаменателе или под корнем.

2. Нули функции: Найдем значения x, при которых y = 0: 0 = x^2 - x^3 x^2(1 - x) = 0

   Итак, у функции есть два нуля: x = 0 и x = 1.

3. Знак функции: Для определения знака функции в различных интервалах рассмотрим знаки множителей x^2 и (1 - x):

   • Если x^2 > 0 (что верно для любого x ≠ 0), то знак функции определен знаком выражения (1 - x).
   • Если x = 0, то y = 0.
   • Если 0 < x < 1, то (1 - x) > 0, следовательно, y > 0.
   • Если x > 1, то (1 - x) < 0, следовательно, y < 0.

4. Экстремумы: Чтобы найти экстремумы функции, найдем точки, где производная равна нулю. y = x^2 - x^3 y' = 2x - 3x^2

   Найдем x, когда y' = 0: 0 = 2x - 3x^2 3x^2 - 2x = 0 x(3x - 2) = 0

   Таким образом, функция имеет две критические точки: x = 0 и x = 2/3.

5. Промежутки возрастания и убывания: Из анализа знаков производной выше, можно сказать, что функция возрастает на интервале (-∞, 0) и убывает на интервале (0, 2/3), а затем снова возрастает на интервале (2/3, +∞).

Теперь построим график функции:

На графике видно, что функция имеет нули в точках (0, 0) и (1, 0), а также экстремум в точке (2/3, 4/27). Функция возрастает слева от x = 2/3 и убывает справа от нее.