Question

X^3-7x+8 разложить на множители

Answer 1

Для того чтобы разложить выражение $x^3 - 7x + 8$ на множители, нужно найти все его рациональные корни (если они существуют) и использовать их для разложения.

Сначала, давайте проверим, есть ли рациональные корни у данного многочлена, используя теорему о рациональных корнях (теорема о делимости):

Если у многочлена $ax^n + bx^{n-1} + cx^{n-2} + \ldots + zx + d$ с целыми коэффициентами (a, b, c, \ldots, z, d) есть рациональный корень, то он должен быть вида $\frac{p}{q}$, где $p$ делитель свободного члена $d$, а $q$ делитель старшего коэффициента $a$.

У нашего многочлена $x^3 - 7x + 8$ свободный член равен 8, а старший коэффициент равен 1, поэтому возможные рациональные корни будут делителями числа 8 (включая отрицательные значения). Таким образом, возможные значения $x$ для рациональных корней многочлена - это $\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$.

Теперь, давайте проверим каждое из этих значений, подставив их в многочлен, чтобы найти рациональные корни:

1. $x = 1$: $1^3 - 7 \cdot 1 + 8 = 1 - 7 + 8 = 2$
2. $x = -1$: $(-1)^3 - 7 \cdot (-1) + 8 = -1 + 7 + 8 = 14$
3. $x = 2$: $2^3 - 7 \cdot 2 + 8 = 8 - 14 + 8 = 2$
4. $x = -2$: $(-2)^3 - 7 \cdot (-2) + 8 = -8 + 14 + 8 = 14$
5. $x = 4$: $4^3 - 7 \cdot 4 + 8 = 64 - 28 + 8 = 44$
6. $x = -4$: $(-4)^3 - 7 \cdot (-4) + 8 = -64 + 28 + 8 = -28$
7. $x = 8$: $8^3 - 7 \cdot 8 + 8 = 512 - 56 + 8 = 464$
8. $x = -8$: $(-8)^3 - 7 \cdot (-8) + 8 = -512 + 56 + 8 = -448$

Ни одно из проверенных значений не дает нам $0$ (т.е. рациональные корни), следовательно, этот многочлен не имеет рациональных корней, и мы не можем разложить его на линейные множители.

Однако, это не значит, что многочлен не может быть разложен на множители в других областях чисел, например, в комплексных числах. В данном случае, разложение будет иметь вид:

$x^3 - 7x + 8 = (x - a)(x - b)(x - c),$

где $a$, $b$ и $c$ - комплексные корни многочлена.