Question

Интеграл x/2 на 0 sin^2*xdx надо найти интеграл

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Для нахождения интеграла ∫(x/2)sin^2(x) dx, вам нужно использовать метод интегрирования по частям.

Интегрирование по частям формулируется следующим образом:

∫(u * dv) = uv - ∫(v * du),

где u и v - это функции переменной x, а du и dv - их дифференциалы.

В данном случае, можно выбрать u = x/2 и dv = sin^2(x) dx.

Теперь вычислим du и v:

du = d(x/2) = 1/2 dx, v = ∫sin^2(x) dx.

Для вычисления ∫sin^2(x) dx, используем формулу сокращения:

sin^2(x) = (1 - cos(2x))/2.

Таким образом, ∫sin^2(x) dx = ∫(1 - cos(2x))/2 dx.

Раскроем скобки и проинтегрируем:

∫sin^2(x) dx = ∫(1/2 - cos(2x)/2) dx = 1/2 ∫(1 - cos(2x)) dx.

∫(1 - cos(2x)) dx = ∫1 dx - ∫cos(2x) dx = x - (1/2)sin(2x) + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь, вернемся к формуле интегрирования по частям:

∫(x/2)sin^2(x) dx = (x/2) * (x - (1/2)sin(2x)) - ∫((1/2) * (x - (1/2)sin(2x)) * (1/2) dx.

∫(x/2)sin^2(x) dx = (x^2/2) - (x/4)sin(2x) - (1/8)∫(x - (1/2)sin(2x)) dx.

Интегрируем оставшийся интеграл:

∫(x/2)sin^2(x) dx = (x^2/2) - (x/4)sin(2x) - (1/8) * (x^2/2) + (1/16)sin(2x) + C.

Таким образом, окончательный ответ:

∫(x/2)sin^2(x) dx = (7x^2 - 2x * sin(2x) + 2 * sin(2x)) / 16 + C,

где C - произвольная постоянная интегрирования.