Question

Найдите корни уравнения: ㏒₃x+㏒₉x+㏒₈₁x=7; решите тригонометрическое уравнение: (2cos x-1)(sin x+1)=0; 2sin²x+3cos x=0; sin x-2cos x=0. решите неравенство: ㏒₁/₂(x+2) ≥ -1 упростите выражение: cos(α+β)+2sin α sin β, если α-β=π; sin(α-β)+2sin β cos α,если α+β=π; вычислите: sin 2004° cos 1947°- sin 1974° cos 2004°; cos 2005° cos 1960°+ sin 1960° sin 2005°; cos 5°-2 sin 25° sin 20°; sin 10°+2 sin 25° cos 35°

Answer 1

Надо доказать тождество , пожалуйста , помогите 
И можете на листочке писать , пожалуйста

Answer 2

1. Решение уравнения ㏒₃x+㏒₉x+㏒₈₁x=7:

Обратимся к свойствам логарифмов:

• ㏒ₐb + ㏒ₐc = ㏒ₐ(b * c)
• ㏒ₐb - ㏒ₐc = ㏒ₐ(b / c)

Применяя эти свойства, уравнение можно переписать: ㏒₃x + ㏒₉x + ㏒₈₁x = 7 ㏒₃x + ㏒₉x + ㏒₉x + ㏒₉x = 7 (поскольку 81 = 3^4) ㏒₉x^3 + ㏒₉x = 7

Теперь объединим логарифмы с одинаковым основанием: ㏒₉x^3 * x = 7 ㏒₉(x^4) = 7

Из свойств логарифма: ㏒ₐ(b^c) = c * ㏒ₐ(b) 4 * ㏒₉x = 7 ㏒₉x = 7/4

Из определения логарифма: a^㏒ₐb = b 9^(7/4) = x x = 3^(7/4)

2. Решение тригонометрического уравнения (2cos x-1)(sin x+1)=0:

Уравнение имеет два множителя: (2cos x - 1) и (sin x + 1). Чтобы произведение было равно нулю, один из множителей должен быть равен нулю:

1. 2cos x - 1 = 0 cos x = 1/2 x = π/3 + 2πn, 5π/3 + 2πn (n - целое число)

2. sin x + 1 = 0 sin x = -1 x = 3π/2 + 2πn (n - целое число)

3. Решение уравнения 2sin²x + 3cos x = 0:

Перепишем первый член, используя тригонометрическую тождество sin²x + cos²x = 1: 2(1 - cos²x) + 3cos x = 0 2 - 2cos²x + 3cos x = 0 2cos²x - 3cos x - 2 = 0

Решим это квадратное уравнение относительно cos x: (2cos x + 1)(cos x - 2) = 0

Из этого получаем два значения cos x:

1. 2cos x + 1 = 0 cos x = -1/2 x = 2π/3 + 2πn, 4π/3 + 2πn (n - целое число)

2. cos x - 2 = 0 cos x = 2 (это не имеет решений, так как косинус не может быть больше 1)

4. Решение уравнения sin x - 2cos x = 0:

Разделим оба члена уравнения на cos x (предполагая, что cos x не равен нулю): tan x = 2 x = arctan(2) + πn (n - целое число)

5. Решение неравенства ㏒₁/₂(x+2) ≥ -1:

Перепишем неравенство в эквивалентной форме: x + 2 ≥ 2^(-1) x + 2 ≥ 1/2 x ≥ -3/2

6. Упрощение выражения cos(α+β) + 2sin α sin β, если α-β=π:

Если α - β = π, то sin(α - β) = sin(π) = 0. Используя тригонометрическое тождество sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β, мы можем сказать, что cos α sin β = 0.

Таким образом, выражение сводится к: cos(α + β) + 2sin α sin β = cos(α + β) + 0 = cos(α + β)

7. Упрощение выражения sin(α-β) + 2sin β cos α, если α+β=π:

Если α + β = π, то sin(α + β) = sin(π) = 0. Используя тригонометрическое тождество sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β, мы можем сказать, что sin α cos β = 0.

Таким образом, выражение сводится к: sin(α - β) + 2sin β cos α = 0 + 2sin β cos α = 2sin β cos α

8. Вычисление выражений:

a) sin 2004° cos 1947° - sin 1974° cos 2004°:

Используем формулу для разности синусов: sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B sin 2004° cos 1947° - sin 1974° cos 2004° = sin(2004° - 1947°) - sin(1974° - 2004°) = sin 57° - sin(-30°) = sin 57° + sin 30°

b) cos 2005° cos 1960° + sin 1960° sin 2005°:

Используем формулу для произведения косинусов: cos(A) cos(B) = 1/2 * (cos(A - B) + cos(A + B)) cos 2005° cos 1960° + sin 1960° sin 2005° = 1/2 * (cos(2005