Question

Lim ln(x)/x-1 x->1 Вычислить предел при помощи правила Лопиталя

Answer 1

Производная числителя равна lnx’=1/x, знаменателя
(x-1)’=1
Откуда lim x->1 (1/x)/1=1/x=1/1=1

Answer 2

Для вычисления предела данной функции с использованием правила Лопиталя, мы сначала должны убедиться, что предел является типом "0/0" или "бесконечность/бесконечность" при подстановке значения x=1.

1. Начнем с проверки предела "0/0": Подставим x=1 в исходную функцию: lim (x -> 1) ln(x) / (x - 1) При x=1 получаем: ln(1) / (1 - 1) = 0 / 0, что является неопределенным выражением типа "0/0".

2. Применим правило Лопиталя: Для этого найдем производные числителя и знаменателя и вычислим предел этих производных, затем подставим x=1 снова и вычислим предел исходной функции.

   a) Найдем производную числителя: d/dx (ln(x)) = 1/x

   b) Найдем производную знаменателя: d/dx (x - 1) = 1

   Теперь вычислим пределы производных:

   lim (x -> 1) 1/x = 1/1 = 1 lim (x -> 1) 1 = 1

3. Подставим x=1 в исходную функцию после применения правила Лопиталя:

   lim (x -> 1) ln(x) / (x - 1) = lim (x -> 1) (1/x) / 1 = 1/1 = 1

Таким образом, предел функции ln(x) / (x - 1) при x -> 1 равен 1.