Question

РЕШИТЕ СРОЧНО ДАЮ 98 БАЛЛОВ!!! Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном интервале: а)y=-x^2 - 6x + 1 на (-∞;-2] б)y=x^3 - 3x^2 - 9x + 1 на [1;+∞)

Answer 1

А)y=-x^2 - 6x + 1 на (-∞;-2]
y`=-2x-6-2x-6=0
-2x=6
x=-3
y(-3)=-9+18+1=10 наиб
y(-2)=-4+12+1=9  наим
б)y=x^3 - 3x^2 - 9x + 1 на [1;+∞)
y`=3x²-6x-9
3(x²-2x-3)=0
x1+x2=2 U x1*x2=-3
x1=3 U x2=-1∉[1;∞)
у(1)=1-3-9+1=-10  наиб
у(3)=27-27-27+1=-26  наим

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений заданных функций на указанных интервалах, необходимо выполнить следующие шаги.

а) Функция y = -x^2 - 6x + 1 на интервале (-∞; -2]

1. Найдем критические точки функции, которые могут быть экстремумами на данном интервале. Критические точки - это точки, где производная функции равна нулю или не существует.

Производная функции y = -x^2 - 6x + 1: y' = -2x - 6

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки: -2x - 6 = 0 -2x = 6 x = -3

2. Исследуем знак производной в интервалах между критическими точками и на краях интервала.

a) x < -3 Подставим произвольную точку из интервала (-∞; -2) в производную и проверим знак: Пример: Пусть x = -4 y' = -2(-4) - 6 = 8 - 6 = 2 (положительно)

b) -3 < x ≤ -2 Подставим крайние точки интервала в производную и проверим знак: Пример: Пусть x = -3 y' = -2(-3) - 6 = 6 - 6 = 0 (равно нулю)

Пример: Пусть x = -2 y' = -2(-2) - 6 = 4 - 6 = -2 (отрицательно)

Итак, на интервале (-∞; -2], производная функции y = -x^2 - 6x + 1 положительна при x < -3 и отрицательна при -3 < x ≤ -2.

3. Определение экстремумов. Так как производная меняет знак с положительного на отрицательный на интервале (-3; -2], то у нас есть максимум функции на этом интервале. Найдем значение функции в точке x = -3, чтобы определить максимальное значение.

y = -(-3)^2 - 6(-3) + 1 = -9 + 18 + 1 = 10

Таким образом, на интервале (-∞; -2], наибольшее значение функции y = -x^2 - 6x + 1 равно 10.

На данном интервале функция не имеет наименьшего значения, так как она стремится к отрицательной бесконечности при x -> -∞.

б) Функция y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 на интервале [1; +∞)

1. Найдем критические точки функции, которые могут быть экстремумами на данном интервале.

Производная функции y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1: y' = 3x^2 - 6x - 9

Теперь приравняем производную к нулю и найдем критические точки: 3x^2 - 6x - 9 = 0

Для решения этого квадратного уравнения, разделим все на 3: x^2 - 2x - 3 = 0

Теперь факторизуем квадратное уравнение: (x - 3)(x + 1) = 0

Отсюда получаем две критические точки: x = 3 и x = -1

2. Исследуем знак производной в интервалах между критическими точками и на краях интервала.

a) 1 < x < -1 Подставим произвольную точку из интервала в производную и проверим знак: Пример: Пусть x = 0 y' = 3(0)^2 - 6(0) - 9 = -9 (отрицательно)

b) x > 3 Подставим произвольную точку из интервала в производную и проверим знак: Пример: Пусть x = 4 y' = 3(4)^2 - 6(4) - 9 = 3(16) - 24 - 9 = 48 - 33 = 15 (положительно)

Итак, на интервале [1; +∞), производная функции y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 положительна при x > 3 и отрицательна при 1 < x < -1.

3. Определение экстремумов. Так как производная меняет знак с отрицательного на положительный на интервале (1; 3), то у нас есть минимум функции на этом интервале. Найдем значение функции в точке x = 3, чтобы определить минимальное значение.

y = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26

Таким образом, на интервале [1; +∞), наименьшее значение функции y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 равно -26.

На данном интервале функция не имеет наибольшего значения, так как она стремится к положительной бесконечности при x -> +∞.

Итак, на указанных интервалах функции имеют следующие наибольшие и наименьшие значения:

а) На интервале (-∞; -2]: На