Question

Найти наибольшее и наименьшее значение функции 1) y=3/2x^2/3-x. [0;8]

Answer 1

.......................

Answer 2

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции $y = \frac{3}{2}x^\frac{2}{3} - x$ на интервале $[0, 8]$, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите критические точки функции, т.е. точки, где производная равна нулю или не существует.
2. Определите значения функции в найденных критических точках и на концах интервала $[0, 8]$.
3. Найдите наибольшее и наименьшее из полученных значений.

Шаг 1: Найдем производную функции $y$ по $x$:

$y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^\frac{2}{3} - x\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}x^\frac{2}{3}\right) - \frac{d}{dx}(x)$

Используем правило дифференцирования степенной функции $f(x) = x^n$, где $n$ - постоянная:

$\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}$

Тогда:

$y' = \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} \cdot x^{\frac{2}{3} - 1} - 1 \cdot \frac{d}{dx}(x) = x^{-\frac{1}{3}} - 1$

Шаг 2: Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

$x^{-\frac{1}{3}} - 1 = 0$

$x^{-\frac{1}{3}} = 1$

Возводим обе стороны уравнения в куб:

$x = 1^3$

$x = 1$

Шаг 3: Найдем значения функции $y$ в критической точке и на концах интервала $[0, 8]$:

Для $x = 0$:

$y = \frac{3}{2} \cdot 0^\frac{2}{3} - 0 = 0$

Для $x = 1$:

$y = \frac{3}{2} \cdot 1^\frac{2}{3} - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

Для $x = 8$:

$y = \frac{3}{2} \cdot 8^\frac{2}{3} - 8$

Для нахождения этого значения, можно воспользоваться калькулятором:

$y \approx 4.154$

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на интервале $[0, 8]$, сравним значения $y$ в критических точках и на концах интервала:

Наименьшее значение: $y = 0$ (минимум функции) Наибольшее значение: $y \approx 4.154$ (максимум функции)

Таким образом, наибольшее значение функции $y$ на интервале $[0, 8]$ равно примерно 4.154, а наименьшее значение равно 0.