Question

1. Найдите наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной : y= корень из (1+cos2x) , [-п/2,0] 2. Найдите наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезку : y=2cosx+x , [-п/2, п/2]

Answer 1

1. Наибольшее и наименьшее значения заданной функции на заданном отрезке без помощи производной : 
y=√(1+cos2x) , [-п/2, 0] ,
Косинус имеет максимум при х = 0, равный 1.
Поэтому наибольшее значение заданная функция имеет при х = 0, у = √2.
Наименьшее значение заданной функции соответствует х = -π/2, тогда подкоренное выражение равно 0 и вся функция равна 0.  

2.Наименьшее и наибольшее значения заданной функции на заданном отрезке : 
y=2cosx+x , [-п/2, п/2].
Функция представляет сумму косинуса и прямой линии.
Максимум функции при х = π/6 равен √3 + (π/6).
Минимум функции при х = -π/2 равен -π/2.

Answer 2

1. Найдем наибольшее и наименьшее значения функции y = √(1 + cos^2x) на отрезке [-π/2, 0].

Для начала, определим область определения функции. В данном случае, функция определена на всем интервале [-π/2, 0].

Шаг 1: Найдем значения функции на концах интервала. y(-π/2) = √(1 + cos^2(-π/2)) = √(1 + cos^2(π/2)) = √(1 + 0) = √1 = 1 y(0) = √(1 + cos^2(0)) = √(1 + 1) = √2

Шаг 2: Найдем критические точки внутри интервала, где производная функции равна нулю. Для этого рассмотрим y'(x) и найдем точки, где y'(x) = 0.

y(x) = √(1 + cos^2x)

Дифференцируем обе стороны по x:

y'(x) = d/dx [√(1 + cos^2x)] = (1/2) * (1 + cos^2x)^(-1/2) * (-2cosx * sinx)

Чтобы найти точки, где y'(x) = 0, нужно приравнять к нулю:

(1 + cos^2x)^(-1/2) * (-2cosx * sinx) = 0

Так как (1 + cos^2x) > 0 на всем интервале [-π/2, 0], можно упростить уравнение:

-2cosx * sinx = 0

Теперь, чтобы найти точки, где -2cosx * sinx = 0, рассмотрим два случая:

a) -2cosx = 0 Это происходит, когда cosx = 0. Такие точки находятся при x = -π/2 и x = -π/4.

б) sinx = 0 Это происходит, когда x = 0.

Шаг 3: Найдем значения функции в найденных критических точках.

y(-π/2) = 1 y(-π/4) = √(1 + cos^2(-π/4)) = √(1 + (1/2)^2) = √(1 + 1/4) = √(5/4) = √5/2 y(0) = √2

Шаг 4: Сравним значения функции на концах интервала, критических точках и найдем наибольшее и наименьшее значения.

Минимальное значение функции: √5/2, достигается при x = -π/4. Максимальное значение функции: √2, достигается при x = 0.

2. Найдем наименьшее и наибольшее значения функции y = 2cosx + x на отрезке [-π/2, π/2].

Для начала, определим область определения функции. В данном случае, функция определена на всем интервале [-π/2, π/2].

Шаг 1: Найдем значения функции на концах интервала. y(-π/2) = 2cos(-π/2) + (-π/2) = 0 - π/2 = -π/2 y(π/2) = 2cos(π/2) + (π/2) = 0 + π/2 = π/2

Шаг 2: Найдем критические точки внутри интервала, где производная функции равна нулю. Для этого рассмотрим y'(x) и найдем точки, где y'(x) = 0.

y(x) = 2cosx + x

Дифференцируем обе стороны по x:

y'(x) = d/dx [2cosx + x] = -2sinx + 1

Теперь, чтобы найти точки, где y'(x) = 0, нужно приравнять к нулю:

-2sinx + 1 = 0

Так как sinx на интервале [-π/2, π/2] не может быть больше 1 или меньше -1, то:

-2sinx + 1 = 0 -2sinx = -1 sinx = 1/2

Шаг 3: Найдем значение функции в найденной критической точке.

x = π/6

y(π/6) = 2cos(π/6) + π/6 = 2 * √3/2 + π/6 = √3 + π/6

Шаг 4: Сравним значения функции на концах интервала, критической точке и найдем наибольшее и наименьшее значения.

Минимальное значение функции: -π/2, достигается при x = -π/2. Максимальное значение функции: √3 + π/6, достигается при x = π/6.