Question

Решите уравнение х^2+6x-7=0, разложив левую часть на множители одним из удобных способов.

Answer 1

Прибавим и вычтем x:
$x^2+6x+x-x-7=(x^2+7x)-(x+7)=x(x+7)-(x+7)=(x-1)(x+7)$

(x - 1)(x + 7) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю. Первая скобка обращается в ноль при x = 1, вторая при x = -7, {1, -7} – решение.

Другой способ разложить на множители – выделить полный квадрат:
$x^2+6x-7=(x^2+6x+9)-(9+7)=(x+3)^2-4^2=\\=(x+3-4)(x+3+4)=(x-1)(x+7)$

Answer 2

Для решения квадратного уравнения $x^2+6x-7=0$ сначала попробуем разложить левую часть на множители. Для этого найдем два числа, которые будут складываться до $6x$ и перемножаться до $-7$.

Разложим $-7$ на два множителя: $7 = 1 \times 7$ или $(-1) \times (-7)$.

Теперь нужно понять, какое из разложений будет соответствовать $6x$. Видим, что $(-1) \times (-7) = 7$ и $(-1) + (-7) = -8$, что не совпадает с $6x$.

Таким образом, уравнение не может быть разложено на множители с целыми коэффициентами. В этом случае мы можем воспользоваться формулой дискриминанта, чтобы найти корни уравнения.

Для квадратного уравнения $ax^2+bx+c=0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле: $D = b^2 - 4ac$

В нашем случае $a=1$, $b=6$ и $c=-7$, поэтому: $D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64$

Теперь, чтобы найти корни уравнения, используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставляем значения $a$, $b$ и $D$: $x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 8}{2}$

Теперь находим два корня:

1. $x = \frac{-6 + 8}{2} = \frac{2}{2} = 1$
2. $x = \frac{-6 - 8}{2} = \frac{-14}{2} = -7$

Таким образом, уравнение $x^2 + 6x - 7 = 0$ имеет два корня: $x = 1$ и $x = -7$.