Question

Доказать, что √(7+4√3)+√(7-4√3) - натуральное

Answer 1

$\sqrt{7+4 \sqrt{3} } + \sqrt{7-4 \sqrt{3} }$
Используя: $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a+b)^{2}$
Используя: $a^{2} - 2ab + b^{2} = (a-b)^{2}$
$\sqrt{(2+ \sqrt{3})^{2}} + \sqrt{(2- \sqrt{3})^{2}}$
$(2+ \sqrt{3}) + (2- \sqrt{3})$
$2+ \sqrt{3} + 2- \sqrt{3}$
$2+2$
$4$
ч.т.д.

Answer 2

Для того чтобы доказать, что выражение √(7+4√3) + √(7-4√3) является натуральным числом, давайте сначала проанализируем его свойства.

Обозначим √(7+4√3) как а и √(7-4√3) как b. Тогда у нас есть:

a = √(7+4√3)

b = √(7-4√3)

Теперь возведем оба выражения в квадрат:

a^2 = (√(7+4√3))^2 = 7 + 4√3

b^2 = (√(7-4√3))^2 = 7 - 4√3

Теперь рассмотрим сумму a^2 + b^2:

a^2 + b^2 = (7 + 4√3) + (7 - 4√3) = 14

Из этого следует, что:

√(7+4√3) + √(7-4√3) = a + b = √(a^2 + b^2) = √14

Теперь проверим, является ли √14 натуральным числом. Если квадратный корень из числа является натуральным числом, то само число является квадратом некоторого натурального числа.

√14 ≈ 3.74165738677

Очевидно, что √14 не является натуральным числом, так как его десятичное представление не обрывается и не периодично.

Таким образом, выражение √(7+4√3) + √(7-4√3) не является натуральным числом.