Question

Доказать утверждение: Если натуральное число n делится на натуральное число p, а натуральное m не делится на p, то ни сумма n+m, ни разность n-m не делятся на p (С дано и доказательствомm через выражения.)

Answer 1

Дано

n делится на p

m не делится на p

Доказать

m+n

m - n

не делятся на p

Д-во

Так как число n делится на p - то при делении остаток 0

Так как число m не делится на p - то при делении остаток не 0

При сложении и вычитании - остаток будет не 0, тем самым ни сумма ни разность на p не делятся

Answer 2

Предположим, что натуральное число n делится на натуральное число p, а натуральное число m не делится на p. Для доказательства утверждения нужно показать, что ни сумма n + m, ни разность n - m не делятся на p.

1. Сумма n + m: Если n делится на p, то есть некоторое целое число k, такое что n = kp. Тогда сумма n + m будет равна (kp) + m = kp + m. Предположим, что сумма n + m делится на p. Значит, существует некоторое целое число q, такое что (kp + m) = p * q. Теперь рассмотрим это уравнение по модулю p: (kp + m) ≡ 0 (mod p) kp ≡ -m (mod p) Учитывая, что m не делится на p, -m также не делится на p. Исходя из этого, получаем, что левая сторона уравнения делится на p, а правая сторона - нет. Противоречие. Значит, сумма n + m не делится на p.

2. Разность n - m: Предположим, что разность n - m делится на p. Значит, существует некоторое целое число q, такое что (kp - m) = p * q. Теперь рассмотрим это уравнение по модулю p: (kp - m) ≡ 0 (mod p) kp ≡ m (mod p) Учитывая, что m не делится на p, мы знаем, что m имеет остаток при делении на p. Предположим, что остаток m при делении на p равен r (0 < r < p). Тогда m = p * t + r для некоторого целого числа t. Теперь вернемся к уравнению: kp ≡ m (mod p) kp ≡ (p * t + r) (mod p) Поскольку p * t делится на p, имеем: r ≡ 0 (mod p) Но это противоречит предположению, что m не делится на p. Следовательно, разность n - m не делится на p.

Таким образом, доказано, что если натуральное число n делится на натуральное число p, а натуральное число m не делится на p, то ни сумма n + m, ни разность n - m не делятся на p.