Question

Исследуйте функцию у=х+4/х 1) Точки пересечения графика с осями координат. 2) Промежутки знакопостоянства. 3) Промежутки возрастания и убывания функции. 4) Точки экстремума и значения f в этих точках. 5) Исследование поведения функции в окрестн. этих точек и при больших по модулю х.

Answer 1

Исследуйте функцию у=х+4/х
y'=1-4/x²=(x-2)(x+2)/x²
1) Точки пересечения графика с осями координат. 
не пересекается

2) Промежутки знакопостоянства. 
до х=0 меньше 0 затем больше 0

3) Промежутки возрастания и убывания функции. 

--------------- -2 ---------------0------------------2-----------------------
       +↑                        -↓                -↓                     +↑

 
4) Точки экстремума и значения f в этих точках. 
y'=0  (x-2)(x+2)/x²=0   x=+-2   x=2  y=2+4/2=4   x=-2   y=-2-4/2=-4
5) Исследование поведения функции в окрестн. этих точек и при больших по модулю х.  возрастает - убывает, при x→+-∞  y→+-∞

Answer 2

Для исследования функции у=х+4/х, прежде всего, давайте решим уравнение у=0 для нахождения точек пересечения графика с осями координат:

1. Точки пересечения с осями координат: Уравнение у=0: х + 4/х = 0

Для того чтобы решить это уравнение, умножим его на х, чтобы избавиться от знаменателя:

х^2 + 4 = 0

Теперь переносим все в левую часть уравнения:

х^2 = -4

Уравнение не имеет решений в области действительных чисел, так как невозможно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Следовательно, график функции не пересекает оси координат.

2. Промежутки знакопостоянства:

Для определения промежутков знакопостоянства анализируем знак выражения х + 4/х.

Если х > 0, то х + 4/х > 0 + 0 = 0 Если х < 0, то х + 4/х < 0 + 0 = 0

Таким образом, функция положительна при х > 0 и отрицательна при х < 0. Возможно, нарушение знакопостоянства в точке х = 0, но это точка не входит в область определения функции, так как в ней функция не определена.

3. Промежутки возрастания и убывания функции:

Функция у=х+4/х является рациональной функцией, а её производная определяется как:

у' = (d/dx)(х + 4/х) = 1 - 4/х^2

Теперь найдем критические точки, приравнивая производную к нулю и решая уравнение:

1 - 4/х^2 = 0

4/х^2 = 1

х^2 = 4

х = ±2

Производная меняет знак с плюса на минус при х=2, что указывает на переход функции из возрастающего в убывающий порядок. Аналогично, производная меняет знак с минуса на плюс при х=-2, что указывает на переход функции из убывающего в возрастающий порядок.

Теперь составим таблицу знаков производной и определим промежутки возрастания и убывания функции:

vbnetCopy code
х < -2    : у' < 0, функция убывает
-2 < х < 0: у' > 0, функция возрастает
х > 2     : у' < 0, функция убывает

4. Точки экстремума и значения f в этих точках:

Точки экстремума - это те точки, где производная равна нулю или не существует. Уже установили, что производная равна нулю при х=2 и х=-2.

Точка х=2 представляет локальный минимум, так как функция переходит из возрастающего порядка в убывающий. Точка х=-2 представляет локальный максимум, так как функция переходит из убывающего порядка в возрастающий.

Значения функции f в этих точках:

При х=2:

у(2) = 2 + 4/2 = 2 + 2 = 4

При х=-2:

у(-2) = -2 + 4/(-2) = -2 - 2 = -4

5. Поведение функции в окрестности этих точек и при больших по модулю х:

В окрестности точек х=2 и х=-2 функция у=х+4/х будет иметь локальный минимум и максимум соответственно, как уже определено на основе знака производной.

При больших по модулю х, поведение функции будет стремиться к у=х, так как при больших значениях х, слагаемое 4/х становится пренебрежимо малым по сравнению с х.

Таким образом, исследование функции у=х+4/х позволяет определить её основные свойства и поведение. Мы нашли точки пересечения с осями координат (которых нет), промежутки знакопостоянства (у>0 при х>0 и у<0 при х<0), промежутки возрастания и убывания (х< -2: убывает, -2<х<0: возрастает, х>2: убывает), точки экстремума и значения функции в этих точках (локальный минимум в х=2 с f(2) = 4, локальный максимум в х=-2 с f(-2) = -4), а также поведение функции при больших по модулю х (приближается к у=х).