Question

Исследовать функцию (обязательно по пунктам с вычислениями) f(x)=2x^4+(8/3)x^3 1. Область определения 2. Область изменения 3. Чётность 4. Периодичность 5. Точки пересечения графика с осями координат 6. Промежутки знака постоянства 7. Промежутки возрастания, убывания 8. Точки экстремума, значение функции в этих точках 9. Поведение функции в окрестности "особых" точек при больших по модулю х (дополнительные точки)

Answer 1

f(x)=2x^4+(8/3)x^3
D(f)∈(-∞;∞)
f(-x)=2x^4-8/3*x³ ни четная,ни нечетная
x=0⇒y=0
y=0⇒x³(2x+8/3)=0⇒x=0 U x=-4/3
(0:0) U (-4/3;0) точки пересечения с осями
f`(x)=8x³+8x²=8x²(x+1)=0
x=0 U x=-1-критические точки
             _                    +                          +
------------------------------------------------------------
убыв            -1 возр                0  возр
                   min                      mfx
y(-1)=2-8/3=-2/3
y(0)=0
x=-3  y(-3)=90          x=-1/2  y(-1/2)=-5/24      x=1  y(1)=4 2/3 

Answer 2

1. Область определения: Функция f(x) определена для любого значения x, так как в определении функции нет никаких ограничений или исключений. То есть, область определения функции f(x) — это все действительные числа, обозначается как (-∞, +∞).

2. Область изменения: Чтобы найти область изменения функции, рассмотрим ее график. Поскольку коэффициент при x^4 положительный (2), а коэффициент при x^3 тоже положительный (8/3), то график функции стремится к бесконечности в положительном и отрицательном направлениях. Также функция имеет постоянный член, равный 1. Значит, область изменения функции f(x) — все действительные числа больше или равные 1: [1, +∞).

3. Чётность: Чтобы определить четность функции, заметим, что все степени x в функции имеют нечетные показатели (4 и 3). А также, функция содержит только четные коэффициенты (2 и 8/3). Из этого следует, что функция f(x) является нечетной.

4. Периодичность: Функция f(x) не является периодической. Поскольку все степени x имеют разные показатели и график функции не повторяется ни на каком интервале.

5. Точки пересечения графика с осями координат: - Чтобы найти точки пересечения с осью абсцисс (Ox), приравниваем функцию f(x) к нулю: 2x^4 + (8/3)x^3 + 1 = 0 Но данное уравнение не имеет рациональных корней и его решение требует применения численных методов или графических средств. - Чтобы найти точки пересечения с осью ординат (Oy), подставляем x = 0 в функцию: f(0) = 2(0)^4 + (8/3)(0)^3 + 1 f(0) = 0 + 0 + 1 f(0) = 1 То есть, график функции пересекает ось ординат в точке (0, 1).

6. Промежутки знака постоянства: Для определения промежутков знака постоянства функции, рассмотрим знаки коэффициентов при разных степенях x: - При x^4 коэффициент положительный (2). - При x^3 коэффициент тоже положительный (8/3). - Постоянный член равен 1, что также является положительным числом. Из этого следует, что функция положительна для всех значений x.

7. Промежутки возрастания, убывания: Функция f(x) является монотонно возрастающей на всей области определения, так как все коэффициенты функции положительные. Ее график стремится к бесконечности при x, стремящемся к бесконечности.

8. Точки экстремума, значение функции в этих точках: Функция f(x) имеет точку экстремума, а именно точку минимума. Чтобы ее найти, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю: f'(x) = 8x^3 + 8x^2

8x^3 + 8x^2 = 0

x^2(8x + 8) = 0

x^2(x + 1) = 0

Отсюда получаем две точки экстремума: x = 0 и x = -1. Подставим эти значения в исходную функцию, чтобы найти значение функции в этих точках: f(0) = 2(0)^4 + (8/3)(0)^3 + 1 = 1 f(-1) = 2(-1)^4 + (8/3)(-1)^3 + 1 = 2 + (-8/3) + 1 = -5/3

Таким образом, точка экстремума (минимум) для функции f(x) равна (-1, -5/3).

9. Поведение функции в окрестности "особых" точек при больших по модулю x (дополнительные точки): При больших по модулю значениях x, функция f(x) стремится к бесконечности. Это объясняется высокими степенями x в функции и положительными коэффициентами, что приводит к экспоненциальному росту функции при увеличении аргумента.