Question

Даю 60 баллов! Помогите! Срочно! Пожалуйста! Исследуйте функцию, используя следующий план, и постройте график функции у=(2-х)е^x+2 1) Найти область определения функции. 2)Найти промежутки знакопостоянства функции и точки пересечения с осями координат. 3)Исследовать функцию на чётность или нечётность, периодичность. 4)Найти промежутки возрастания и убывания функции, точки экстремума и значения функции в этих точках. 5)Вычислить значения функции в промежуточных точках. 6) Построить график.

Answer 1

Объяснение:

все пункты иллюстрированы на рисунке

Answer 2

Давайте решим каждый пункт вашего задания по порядку.

1) Область определения функции: Область определения функции - это множество всех значений переменной, при которых функция определена. В данном случае у нас есть экспоненциальная функция и знаменатель. Экспоненциальная функция определена для всех действительных значений, а знаменатель не должен быть равен нулю. Поэтому:

\[ \text{Область определения: } \mathbb{R} \setminus \{2\} \]

2) Промежутки знакопостоянства, точки пересечения с осями координат: Для этого найдем нули функции (точки, где функция равна нулю) и определим знак функции на интервалах между нулями.

\[2 - x = 0 \implies x = 2\]

Таким образом, у нас есть одна точка пересечения с осью x: (2, 0).

Теперь рассмотрим знаки на интервалах:

- \(x < 2\): \(2 - x > 0\), следовательно, функция положительна. - \(x > 2\): \(2 - x < 0\), следовательно, функция отрицательна.

Таким образом, функция положительна на \((-\infty, 2)\) и отрицательна на \((2, +\infty)\).

3) Исследование на четность/нечетность, периодичность: Функция \(f(x) = (2 - x)e^x + 2\) не является четной или нечетной, так как содержит как экспоненциальную, так и линейную части. Также она не периодична.

4) Промежутки возрастания и убывания, точки экстремума, значения функции в этих точках: Найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти критические точки:

\[f'(x) = -e^x(3 - x)\]

\[e^x(3 - x) = 0\]

Отсюда получаем \(x = 3\), что является критической точкой.

Теперь проверим знаки производной на интервалах:

- \(x < 3\): \(e^x > 0\) и \((3 - x) > 0\), следовательно, \(f'(x) > 0\) (функция возрастает). - \(3 < x < +\infty\): \(e^x > 0\) и \((3 - x) < 0\), следовательно, \(f'(x) < 0\) (функция убывает).

Таким образом, у функции есть локальный максимум в точке (3, f(3)).

5) Вычисление значений функции в промежуточных точках: Значение функции в найденных точках: - \(f(2) = (2 - 2)e^2 + 2 = 2\) - \(f(3) = (2 - 3)e^3 + 2 = -e^3 + 2\)

6) Построение графика: На основе полученной информации можно построить график функции. Визуализация может быть выполнена с использованием программ для построения графиков, таких как Python с библиотекой Matplotlib, или любого другого удобного вам инструмента.