Question

Помогите по алгебре, пожалуйста! f=x^2-2|x|+1 Нужно построить график функции и описать её: 1) область определения функции; 2) Точки пересечения графика функции с осями координат; 3) чётность/нечётность функции; 4) периодичность функции (периодическая/непериодическая функция); 5) промежутки возрастания/убывания; 6) точки экстремума и экстремум функции; 7) область значений функции; 8) промежутки знакопостоянства.

Answer 1

F(x)=x²-2|x|+1
D(f)∈(-∞;∞)
f(-x)=x²-|x|+1 четная⇒
Строим у=х²-2х+1=(х-1)²
парабола у=х² ,ветви вверх,вершина в точке (1:0),х=1-ось симметрии,(0;1) точка пересечения с осью оу.
Оставляем все что справа от оси оу и отображаем слева.
Функция непериодическая.
Возрастает x∈(-1;0) U (1;∞)
Убывает x∈(-∞;-1) U (0;1)
ymin(-1)=ymin(1)=0
y∈[0;∞)
y>0 x∈(-∞;-1) U (-1;1) U (1;∞)

Answer 2

График функции f(x) = x^2 - 2|x| + 1

Давайте по порядку рассмотрим каждый из пунктов и опишем функцию f(x) = x^2 - 2|x| + 1.

1) Область определения функции:

Область определения функции - это множество всех допустимых значений аргумента x, при которых функция определена. В данном случае, функция f(x) = x^2 - 2|x| + 1 определена для любого значения x, так как квадрат и модуль всегда возвращают неотрицательные значения. Таким образом, область определения функции f(x) - это множество всех действительных чисел (-∞, +∞).

2) Точки пересечения графика функции с осями координат:

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно приравнять f(x) к нулю и решить полученное уравнение.

f(x) = x^2 - 2|x| + 1 = 0

Для решения этого уравнения, нужно рассмотреть два случая: когда x ≥ 0 и когда x < 0.

- При x ≥ 0: Уравнение принимает вид x^2 - 2x + 1 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим единственное решение x = 1. - При x < 0: Уравнение принимает вид x^2 + 2x + 1 = 0. Решив это квадратное уравнение, получим единственное решение x = -1.

Таким образом, график функции f(x) пересекает ось абсцисс (ось x) в точках x = -1 и x = 1.

3) Чётность/нечётность функции:

Чтобы определить, является ли функция f(x) четной или нечетной, нужно проверить, выполняется ли для нее свойство f(-x) = f(x).

Вычислим f(-x):

f(-x) = (-x)^2 - 2|-x| + 1 = x^2 - 2|x| + 1 = f(x)

Таким образом, функция f(x) является четной, так как выполняется свойство f(-x) = f(x).

4) Периодичность функции:

Чтобы определить, является ли функция f(x) периодической или нет, нужно проверить, существует ли такое число T, что для любого x выполняется равенство f(x + T) = f(x).

В данном случае, функция f(x) не является периодической, так как нет такого числа T, для которого бы выполнялось равенство f(x + T) = f(x).

5) Промежутки возрастания/убывания:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нужно проанализировать знак производной функции.

Вычислим производную функции f(x):

f'(x) = 2x - 2 * sign(x)

Где sign(x) - функция знака, равная 1 при x > 0, -1 при x < 0 и 0 при x = 0.

Проанализируем знак производной в разных интервалах:

- При x < 0: f'(x) = 2x - 2 * (-1) = 2x + 2 Знак производной в этом интервале зависит от значения x. Если x > -1, то f'(x) > 0 и функция возрастает. Если x < -1, то f'(x) < 0 и функция убывает. - При x > 0: f'(x) = 2x - 2 * 1 = 2x - 2 Знак производной в этом интервале также зависит от значения x. Если x > 1, то f'(x) > 0 и функция возрастает. Если x < 1, то f'(x) < 0 и функция убывает. Таким образом, функция f(x) возрастает на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и убывает на интервалах (-1, 1).

6) Точки экстремума и экстремум функции:

Чтобы найти точки экстремума функции, нужно найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Вычислим производную функции f(x) еще раз:

f'(x) = 2x - 2 * sign(x)

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

2x - 2 * sign(x) = 0

- При x < 0: 2x - 2 * (-1) = 0 Решая это уравнение, получаем x = 1. - При x > 0: 2x - 2 * 1 = 0 Решая это уравнение, получаем x = 1. Таким образом, функция f(x) имеет точку экстремума при x = 1.

7) Область значений функции:

Область значений функции - это множество всех возможных значений функции f(x). В данном случае, так как функция f(x) является параболой, у которой вершина находится выше оси абсцисс, область значений функции f(x) - это множество всех действительных чисел, больших или равных значению f(1). То есть, область значений функции f(x) - это множество всех действительных чисел, больших или равных 0.

8) Промежутки знакопостоянства:

Чтобы найти промежутки знакопостоянства функции, нужно проанализировать знак самой функции в разных интервалах.

Проанализируем знак функции f(x) в разных интервалах:

- При x < -1: f(x) = x^2 - 2|x| + 1 > 0, так как x^2 и 2|x| всегда неотрицательны, а 1 - это константа. - При -1 < x < 1: f(x) = x^2 - 2|x| + 1 < 0, так как x^2 и 2|x| всегда неотрицательны, а 1 - это константа. - При x > 1: f(x) = x^2 - 2|x| + 1 > 0, так как x^2 и 2|x| всегда неотрицательны, а 1 - это константа.

Таким образом, функция f(x) положительна на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞), и отрицательна на интервале (-1, 1).

Это все основные характеристики функции f(x) = x^2 - 2|x| + 1. Если у вас есть еще вопросы или нужна дополнительная информация, пожалуйста, дайте знать!