Question

При каком значении параметра а уравнение имеет только один корень ax^2-(a+1)x+1=0?

Answer 1

Квадратное уравнение имеет единственный корень, когда его дискриминант равен нулю:
D = (-(a+1))^2 - 4a = a^2 + 2a +1 - 4a = a^2 -2a + 1 = (a-1)^2 = 0;
a=1.
Ответ: 1.

Answer 2

Для уравнения $ax^2 - (a+1)x + 1 = 0$ чтобы имелся только один корень, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Как напоминание, дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ вычисляется по формуле:

$D = b^2 - 4ac.$

Когда дискриминант равен нулю, у уравнения есть только один корень, и он является вещественным и кратным.

Таким образом, мы можем найти значение параметра $a$, при котором дискриминант будет равен нулю:

$D = (-(a+1))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = (a+1)^2 - 4a = a^2 + 2a + 1 - 4a = a^2 - 2a + 1.$

Теперь приравниваем $D$ к нулю:

$a^2 - 2a + 1 = 0.$

Это квадратное уравнение имеет только один корень, потому что дискриминант равен нулю.

Решим его:

$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2 = 0.$

Таким образом, $a-1 = 0$, и решением уравнения $a^2 - 2a + 1 = 0$ является $a = 1$.

Таким образом, при $a = 1$ уравнение $ax^2 - (a+1)x + 1 = 0$ имеет только один корень.