Question

Найдите наибольшее значение функции y=x^3-9x^2+24x-1 на отрезке [-1;2]

Answer 1

Y(max) - ?

y'= ( x³ - 9x² + 24x - 1 )' = 3x² - 18x + 24
y'= 0
3x² - 18x + 24= 0
D = (-18)² - 4×3×24 = 324 - 288 = 36 = 6²
х(1) = 2 € [ -1;2]
х(2) = 4 - не подходит

y(-1) = (-1)³ - 9(-1)² +24(-1) -1 = -35
y(2) = 2³ - 9×2² + 24×2 -1 = 19
Ответ: 19.

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции на заданном отрезке, необходимо вычислить значения функции в его крайних точках и в точках, где производная функции равна нулю. Затем среди всех этих значений найти наибольшее.

Шаги для решения:

1. Вычислим значения функции в крайних точках отрезка:

   • При x = -1: y = (-1)^3 - 9(-1)^2 + 24(-1) - 1 = -1 + 9 - 24 - 1 = -17
   • При x = 2: y = 2^3 - 9(2)^2 + 24(2) - 1 = 8 - 36 + 48 - 1 = 19

2. Найдем значения функции в точках, где производная функции равна нулю:

   • Вычислим производную функции y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1: y' = 3x^2 - 18x + 24
   • Найдем точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 18x + 24 = 0
   • Решим это уравнение: x^2 - 6x + 8 = 0 (x - 2)(x - 4) = 0 x = 2 или x = 4

3. Вычислим значения функции в найденных точках:

   • При x = 2 (уже рассчитывали): y = 19
   • При x = 4: y = 4^3 - 9(4)^2 + 24(4) - 1 = 64 - 144 + 96 - 1 = 15

Таким образом, наибольшее значение функции y = x^3 - 9x^2 + 24x - 1 на отрезке [-1; 2] равно 19.