Question

Графически решить неравенство Квадратный корень из 2 sin x <или= 1

Answer 1

$\sqrt{2\sin x } \le 1 \\ \\ \left\{ \begin{gathered} 2\sin x \ge 0 \\ 2\sin x \le 1 \\ \end{gathered} \ \ ; \ \ \left\{ \begin{gathered} \sin x \ge 0 \\ \sin x \le \dfrac{1}{2} \\ \end{gathered} \right. \right.$

$\left\{ \begin{gathered} x \ge \pi n,n \in Z \\ \left[ \begin{gathered} x \le \dfrac{\pi}{6} + 2\pi n, n \in Z \\ x \le \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi n,n \in Z \\ \end{gathered} \right. \end{gathered} \right. \ (1)$

$x\in [\pi ; \dfrac{5\pi}{6}] \cup [\dfrac{\pi}{6};0] + 2\pi n, n \in Z$

Ответ: x ∈ [π; 5π/6] ∪ [π/6; 0] + 2πn, n ∈ Z

Answer 2

Чтобы графически решить неравенство $\sqrt{2} \sin x \leq 1$, давайте разберемся сначала с неравенством $\sqrt{2} \sin x = 1$, а затем определим, какие области удовлетворяют исходному неравенству.

Начнем с уравнения $\sqrt{2} \sin x = 1$. Чтобы найти значения $x$, удовлетворяющие этому уравнению, мы должны решить:

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}.$

Известно, что $\sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. Однако $\sin x$ имеет период $2\pi$, поэтому все значения $x$, удовлетворяющие уравнению, могут быть представлены как:

$x = \frac{\pi}{4} + 2\pi k,$

где $k$ - целое число (положительное, отрицательное или ноль).

Теперь давайте построим график функции $\sqrt{2} \sin x$ на интервале $0 \leq x \leq 2\pi$:

1. Найдем период функции $\sin x$, который равен $2\pi$.
2. Найдем амплитуду функции, которая равна $\sqrt{2}$.
3. Сместим график вверх на единичную единицу, чтобы учесть неравенство $\sqrt{2} \sin x \leq 1$.

Поскольку $\sin x$ изменяется от $-1$ до $1$ в течение каждого периода, график функции $\sqrt{2} \sin x$ будет ограничен между $\sqrt{2}$ и $-\sqrt{2}$. Затем добавим график $y = 1$ для определения области, удовлетворяющей исходному неравенству.

Вот графическое представление:

perlCopy code
       | 
   1   |             /
       |           /
       |         /
       |       /
-------|-----/------------------
       |   /  
       | /  
   -1  |
       |
       |_____________________
         0    π/4   π/2    3π/4 

Теперь рассмотрим неравенство $\sqrt{2} \sin x \leq 1$:

Исходя из графика, мы видим, что значения $\sqrt{2} \sin x$ находятся в диапазоне от $-\sqrt{2}$ до $\sqrt{2}$ (область между двумя горизонтальными линиями). Мы хотим найти области, где $\sqrt{2} \sin x$ находится ниже или равно $1$ (то есть где оно находится под верхней горизонтальной линией $y=1$). Из графика видно, что это происходит в интервалах между вертикальными линиями $\frac{\pi}{4}$ и $\frac{5\pi}{4}$, а также между $\frac{9\pi}{4}$ и $2\pi$.

Таким образом, решением исходного неравенства является:

$\frac{\pi}{4} + 2\pi k \leq x \leq \frac{5\pi}{4} + 2\pi k \quad \text{или} \quad \frac{9\pi}{4} + 2\pi k \leq x \leq 2\pi + 2\pi k,$

где $k$ - целое число (положительное, отрицательное или ноль).