Question

Найти точку минимума функции у=х^3-3х

Answer 1

Решение:
1)  $y = x^3 - 3x$
2)  $y ' = (x^3 - 3x)' = 3 x^{2} - 3 = 3( x^{2} - 1) = 3(x - 1)(x + 1)$
3)  $y ' = 0, \\ 3(x - 1)(x + 1) = 0 \\ x_{1} = 1, x_{2} = - 1$
4) 
y '____+_______(-1)_____-______(1)____+________x
y  возрастает     max   убывает      min  возрастает
 х = 1 - точка минимума 
Ответ: 1.

Answer 2

Y = x^3 - 3x
y'= 3x^2 - 3 = 0 -> x = +-1
y'' = 6x
y''(-1) = -6 < 0
y''(1) = 6 > 0
x = 1 - точка минимума

Answer 3

Чтобы найти точку минимума функции $у = х^3 - 3х$, следует выполнить следующие шаги:

1. Найдите первую производную функции $у$ по переменной $х$.
2. Приравняйте первую производную к нулю и решите уравнение, чтобы найти критические точки.
3. Проверьте вторую производную функции $у$ в каждой критической точке.
4. Определите, является ли каждая критическая точка точкой минимума, максимума или перегиба.

Теперь выполняем каждый шаг:

1. Найдем первую производную функции $у$ по $х$: $y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x) = 3x^2 - 3$

2. Приравняем $y'$ к нулю и решим уравнение: $3x^2 - 3 = 0$ $3x^2 = 3$ $x^2 = 1$ $x = \pm 1$

Таким образом, у нас две критические точки: $x = 1$ и $x = -1$.

3. Теперь найдем вторую производную функции $у$ по $х$: $y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 3) = 6x$

4. Проверим каждую критическую точку $x = 1$ и $x = -1$, подставив их во вторую производную $y''$.

При $x = 1$: $y'' = 6 \cdot 1 = 6$ При $x = -1$: $y'' = 6 \cdot (-1) = -6$

Теперь анализируем результаты:

• При $x = 1$, $y'' = 6$, что является положительным числом. Это означает, что функция выпуклая вниз в точке $x = 1$, и поэтому эта точка является точкой минимума.
• При $x = -1$, $y'' = -6$, что является отрицательным числом. Это означает, что функция выпуклая вверх в точке $x = -1$, и поэтому эта точка является точкой максимума.

Таким образом, точка минимума функции $у = х^3 - 3х$ находится при $x = 1$ и равна $у = 1^3 - 3 \cdot 1 = -2$.