Question

Докажите что не существует натуральных чисел a и b для которых a^2=2b^2

Answer 1

Предположим,что а и в натуральные числа. выразим одно через другое. извлечем корень из обеих частей. получаем а=в*√2 если в натуральное число,то а включает в себя сомножитель √2 ,число имеющее иррациональный сомножитель не может быть  натуральным числом.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, мы воспользуемся методом от противного.

Предположим, что существуют натуральные числа a и b, такие что a^2 = 2b^2.

Давайте заметим, что если a^2 делится на 2, то и само число a делится на 2 (это верно для любого натурального числа). Это можно представить как a = 2k, где k - некоторое натуральное число.

Подставим выражение a = 2k в исходное уравнение:

(2k)^2 = 2b^2 4k^2 = 2b^2 2k^2 = b^2

Теперь видим, что b^2 также делится на 2. Следовательно, b тоже делится на 2, и можно представить b = 2m, где m - некоторое натуральное число.

Подставим выражение b = 2m в последнее уравнение:

2k^2 = (2m)^2 2k^2 = 4m^2 k^2 = 2m^2

Теперь замечаем, что и k^2 делится на 2, а значит k также делится на 2.

Теперь у нас есть, что и a, и k делятся на 2. Но это противоречит исходному предположению о том, что a и b не имеют общих делителей, кроме 1. Таким образом, наше предположение неверно, и исходное уравнение a^2 = 2b^2 не имеет решений в натуральных числах для a и b.

Таким образом, мы доказали, что не существует натуральных чисел a и b, для которых a^2 = 2b^2.