Question

Для функции f(x) найдите первообразную, график которой проходит через точку A: f(x)=cos2x,A(П/2;0).

Answer 1

F(x) = (1/2)*sin(2x) + C,
Проверка:
F'(x) = ((1/2)*sin(2x) + C)' = (1/2)*cos(2x)*(2x)' + C' = cos(2x).

A(п/2; 0)
0=F(п/2) = (1/2)*sin(п) + С = (1/2)*0 + C = 0,
C = 0.
Искомая первообразная это F(x) = (1/2)*sin(2x).

Answer 2

Чтобы найти первообразную функции f(x) = cos^2(x), график которой проходит через точку A(π/2, 0), нам нужно проинтегрировать функцию f(x).

Используем тригонометрическую тождественную формулу:

cos^2(x) = (1 + cos(2x)) / 2

Теперь проинтегрируем выражение (1 + cos(2x)) / 2:

∫((1 + cos(2x)) / 2) dx

Для интегрирования, добавим константу интегрирования "C":

∫((1 + cos(2x)) / 2) dx = (1/2)∫(1 + cos(2x)) dx + C

Теперь интегрируем каждый член отдельно:

∫(1 + cos(2x)) dx = ∫1 dx + ∫cos(2x) dx

∫1 dx = x + C1, где C1 - константа интегрирования.

∫cos(2x) dx = (1/2)sin(2x) + C2, где C2 - другая константа интегрирования.

Теперь общее решение первообразной:

(1/2)∫(1 + cos(2x)) dx = (1/2)(x + C1) + (1/4)sin(2x) + C2

Теперь, чтобы определить конкретные значения C1 и C2 и удовлетворить условию прохождения графика через точку A(π/2, 0), подставим x = π/2 и y = 0:

(1/2)(π/2 + C1) + (1/4)sin(2(π/2)) + C2 = 0

(1/2)(π/2) + C1 + (1/4)sin(π) + C2 = 0

(1/2)(π/2) + C1 - C2 = 0

Теперь, мы знаем, что график проходит через точку (π/2, 0), значит, x = π/2 и y = 0 должны удовлетворять общему решению первообразной.

Таким образом,

(1/2)(π/2) + C1 - C2 = 0

C1 - C2 = π/4

Так как C1 и C2 - это константы интегрирования, их разность может быть равна π/4. Для простоты, давайте предположим, что C1 = π/4 и C2 = 0.

Таким образом, окончательное решение первообразной, которая проходит через точку A(π/2, 0), будет:

F(x) = (1/2)(x + π/4) + (1/4)sin(2x)

Это искомая первообразная функции f(x) = cos^2(x), проходящая через точку A(π/2, 0).