Question

Найти наибольшее значение функции y = х^2 + 25/х на отрезке [−10; −1].

Answer 1

1. Находим первую производную функции:

y' = 2x - 25/x²

или

y' = (2x³ - 25)/x²

2. Приравниваем ее к нулю:

2x - 25/x² = 0

x1 = 2, 32

3. Вычисляем значения функции на концах отрезка

f(2, 32) = 16, 16

f(-10) = 97, 5 (max)

f(-1) = - 24 (min)

Ответ:f(max) = 97, 5

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции y = x^2 + 25/x на отрезке [-10; -1], нужно проанализировать значения функции в крайних точках этого отрезка и в точках, где её производная равна нулю.

1. Найдём значения функции на концах отрезка:

Для x = -10: y = (-10)^2 + 25/(-10) = 100 - 2.5 = 97.5

Для x = -1: y = (-1)^2 + 25/(-1) = 1 - 25 = -24

2. Найдём производную функции y по x и приравняем её к нулю для поиска критических точек:

y = x^2 + 25/x y' = 2x - 25/x^2

Приравниваем производную к нулю: 2x - 25/x^2 = 0

3. Найдём критические точки:

2x = 25/x^2 2x^3 = 25 x^3 = 25/2 x = (25/2)^(1/3) ≈ 2.466

Таким образом, получаем одну критическую точку при x ≈ 2.466.

4. Проверим значения функции в этой критической точке:

Для x ≈ 2.466: y ≈ (2.466)^2 + 25/(2.466) ≈ 6.083 + 10.145 ≈ 16.228

5. Находим наибольшее значение функции:

Наибольшее значение функции y = x^2 + 25/x на отрезке [-10; -1] равно 97.5 (при x = -10), -24 (при x = -1), и 16.228 (при x ≈ 2.466). Из этих значений наибольшим является 97.5.

Таким образом, максимальное значение функции на заданном отрезке равно 97.5.