Question

СРОЧНО!!!!!!При каком наибольшем а система уравнений имеет решение в целых числах?

Answer 1

$\left \{ {{x-4y=1} \atop {ax+y=1}} \right.\\ \left \{ {{x-4y=1} \atop {4ax+4y=4}} \right. \\ (1 + 4a) \cdot x = 5 \\ x = \frac{5}{1 + 4a} \\ y = 1 - a \cdot x = \\ = 1 - \frac{5a}{1 + 4a} = \frac{1 - a}{1 + 4a} \\ x = \frac{5}{1 + 4a} \\ y = \frac{1 - a}{1 + 4a}$

из полученных выражений для х и у
видно, что решения будут целыми, если
5 и (1-а) будут нацело делиться на (1+4а)

5 делится нацело на 1 и на 5, наибольшее а при этом будет а=1
при этом
х=1 и у=0, это целые числа.

При а > 1, х будет дробным,
т.к (1+4а) будет >5
поэтому а=1 будет максимальным.

Ответ
при а=1

Answer 2

Для системы уравнений имеющей вид:

ax + by = c dx + ey = f

где a, b, c, d, e, f - целые числа, мы можем использовать расширенный алгоритм Евклида для решения этого вопроса.

Система уравнений имеет решение в целых числах тогда и только тогда, когда НОД(a, b) делит c и НОД(d, e) делит f. Если это выполнено, то решение существует.

Таким образом, наибольшее возможное значение НОД(a, b) и НОД(d, e) будет ответом на ваш вопрос.