Question

Маша и Андрей, будущие математики, развлекались на перемене. Маша написала на доске 4 различных натуральных числа. Андрей выписал значения наибольших общих делителей для каждой из шести пар чисел. Получилось, что для одной из пар НОД равен 1, для другой — 2, для третьей — 3, для четвертой — 4, для пятой — 5, а для шестой — X. Найдите наименьшее возможное значение X?

Answer 1

Точно не 6 и не 7, я пробовал

Answer 2

Для нахождения наименьшего возможного значения X (наибольшего общего делителя шестой пары чисел), нужно рассмотреть все возможные комбинации чисел, чтобы для каждой пары получить указанные значения НОД.

Пусть четыре числа, написанные Машей на доске, будут a, b, c и d.

Теперь рассмотрим значения НОД для всех пар чисел:

1. НОД(a, b) = 1
2. НОД(a, c) = 2
3. НОД(a, d) = 3
4. НОД(b, c) = 4
5. НОД(b, d) = 5
6. НОД(c, d) = X

Теперь пройдемся по возможным значениям НОД для каждой пары:

1. НОД(a, b) = 1: Значит, a и b взаимно простые.
2. НОД(a, c) = 2: Значит, a и c имеют общий простой делитель, но он не присутствует у b (так как a и b взаимно простые).
3. НОД(a, d) = 3: Значит, a и d имеют общий простой делитель, но он не присутствует у b и c (так как НОД(a, b) = 1 и НОД(a, c) = 2).
4. НОД(b, c) = 4: Значит, b и c имеют общий простой делитель, но он не присутствует у a и d (так как НОД(a, b) = 1 и НОД(a, d) = 3).
5. НОД(b, d) = 5: Значит, b и d взаимно простые.
6. НОД(c, d) = X: Нам нужно найти минимальное значение X.

Чтобы получить наименьшее возможное значение X, обратим внимание на то, что все числа a, b, c и d различны. Это означает, что значения НОД, равные 1, 2, 3 и 4, уже "используются", и нам нужно выбрать оставшиеся простые числа. Наименьшие простые числа, большие 4, это 5 и 7.

Таким образом, наименьшее возможное значение X равно 5.