Question

Выпишите уравнение касательной кграфику функции, параллельной прямой у=7х-1: f(x)=x³-2x²+6

Answer 1

.................................

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к графику функции, параллельной прямой y = 7x - 1, сначала найдем производную данной функции и затем определим точку касания касательной с графиком функции f(x). Касательная к графику функции параллельна данной прямой, следовательно, ее угловой коэффициент будет таким же, равным 7.

1. Найдем производную функции f(x): f(x) = x³ - 2x² + 6

Производная f'(x) вычисляется путем почленного дифференцирования: f'(x) = d/dx (x³) - d/dx (2x²) + d/dx (6)

f'(x) = 3x² - 4x

2. Чтобы найти точку касания, нужно решить уравнение f'(x) = 7: 3x² - 4x = 7

3. Перепишем уравнение в стандартной форме: 3x² - 4x - 7 = 0

4. Решим квадратное уравнение: Дискриминант (D) квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 вычисляется по формуле: D = b² - 4ac

Для данного уравнения: a = 3, b = -4, c = -7 D = (-4)² - 4 * 3 * (-7) D = 16 + 84 D = 100

5. Так как дискриминант положителен (D > 0), у уравнения есть два различных действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней: x = (-b ± √D) / 2a

x₁ = (-(-4) + √100) / 2 * 3 x₁ = (4 + 10) / 6 x₁ = 14 / 6 x₁ = 7/3

x₂ = (-(-4) - √100) / 2 * 3 x₂ = (4 - 10) / 6 x₂ = -6 / 6 x₂ = -1

Таким образом, уравнение имеет два корня: x₁ = 7/3 и x₂ = -1.

6. Теперь найдем соответствующие значения y, используя исходную функцию f(x): y₁ = f(7/3) = (7/3)³ - 2 * (7/3)² + 6 y₁ = 343/27 - 98/27 + 6 y₁ = 245/27

y₂ = f(-1) = (-1)³ - 2 * (-1)² + 6 y₂ = -1 - 2 + 6 y₂ = 3

Таким образом, точки касания касательной с графиком функции f(x) имеют координаты (7/3, 245/27) и (-1, 3).

7. Уравнение касательной с угловым коэффициентом 7 и проходящей через точку (7/3, 245/27) может быть записано в виде: y - y₁ = 7(x - x₁)

Подставим значения x₁ и y₁: y - 245/27 = 7(x - 7/3)

Далее, упростим уравнение: y - 245/27 = 7x - 49/3

И окончательное уравнение касательной: y = 7x - 49/3 + 245/27

y = 7x - 148/27